Question

Как найти область определения выражения: √-x^2+x+12/x^2-5x

Answer 1

$f(x)=\frac{\sqrt{-x^2+x+12}}{x^2-5x}=\frac{\sqrt{-(x+3)(x-4)}}{x(x-5)}\\\\OOF:\; \left \{ {{-(x+3)(x-4) \geq 0} \atop {x\ne 0,\; x\ne 5}} \right. \; ,\; \left \{ {{(x+3)(x-4) \leq 0} \atop {x\ne 0,\; x\ne 5}} \right.\; ;\; \left \{ {{x\in [\, -3,4\, ]} \atop {x\ne 0,x\ne 5}} \right. \\\\+++[-3]---(0)---[4]+++(5)+++\\\\Otvet:\; x\in [\, -3,0)U(0,4\, ]$

Answer 2

Для того чтобы найти область определения выражения, нужно выяснить какие значения переменной под корнем и в знаменателе являются допустимыми.

Первое, что нужно учесть, это то, что под корнем √(-x^2 + x + 12) находится выражение, которое должно быть неотрицательным. То есть, мы должны иметь (-x^2 + x + 12) ≥ 0.

Чтобы решить это неравенство, сначала найдем корни квадратного уравнения (-x^2 + x + 12) = 0. Для этого используем формулу дискриминанта D = b^2 - 4ac, где a = -1, b = 1 и c = 12.

D = 1 - 4(-1)(12) = 1 + 48 = 49.

Учитывая, что D > 0, мы знаем, что уравнение имеет два корня. Рассчитаем их:

x = (-1 + √49) / (-2) = (-1 + 7) / (-2) = 6 / -2 = -3.

x = (-1 - √49) / (-2) = (-1 - 7) / -2 = -8 / -2 = 4.

Получили два значения корней: x = -3 и x = 4. Теперь построим таблицу знаков, используя эти значения:

x < -3 -3 < x < 4 x > 4 -------------------------------------- -x^2 + x + 12 | - | + | - -------------------------------------- Из таблицы знаков видно, что выражение (-x^2 + x + 12) ≥ 0 при (-3 < x < 4). То есть, в этот интервал под корнем √(-x^2 + x + 12) получается неотрицательным значением.

Теперь нужно обратить внимание на знаменатель (x^2 - 5x). Поскольку знаменатель не может быть равен 0, необходимо найти значения переменной x, при которых знаменатель равен нулю:

x^2 - 5x = 0.

Приведем это уравнение к виду x(x - 5) = 0 и решим:

x = 0, x = 5.

Таким образом, в этих двух точках знаменатель обращается в 0, а значит, они не могут принадлежать области определения.

Итак, область определения выражения √(-x^2 + x + 12) / (x^2 - 5x) состоит из всех значений переменной x, лежащих в интервале (-3, 4), исключая 0 и 5.