Question

найдите последнюю цифру числа:а)2001 в степени 2002 в степени 2003б)1999 в степени 2002 в степени 1333

Answer 1

Задачка интересная, смотри, как такие решаются.

 

В таких задачках главное- последняя цифра числа, которое возводится в степень

 

В первом случае 2001 оканчивается на 1, а 1 в любой степени 1, поэтому и 2001 в любой степени оканчивается на 1.

 

Во втором случае число оканчивается на 9. Исследуем, на какую цифру будут оканчиваться степени 9

Степень      Последняя цифра 9^n

     1                              9

     2                              1

     3                              9

     4                              1

и т.д.  уже видно, что при возведении в чётную степень последняя цифра 1, в нечётную -  2

. Таким образом

1999^2002 оканчивается на 1 (2002 - чётное число)

1999^1333 оканчивается на 2 (1333 - нечётное число).

 

Вот, примерно, так.

Попробуй исследовать поведение последней цифры числа 2013^n, 1917^n. Получится интересней.

 

Ну и последнее. Всё это просто рассуждения, а как же это всё доказать, можешь ты спросить. Так же просто. Смотри, например, случай 1.

Любое число, оканчивающееся на 1 можно представить в виде 10*к +1. Значит его степень

(10*к+1)^n = 10^n*k^n + ...........+1^n(это бином Ньютона) = 10*R +1.

то есть любое число, оканчивающееся на 1 в любой степени оканчивается на 1.

Так же через бином Ньютона доказывается и всё остальное.

Успехов!

 

Да, и ещё. Условие у тебя очень нечёткое, если в самом деле нет запятых, то в 1 - решение то же, а в 2 нужно поисследовать ещё на какую цифру оканчивются степени 2002, то есть 2

степень  посл. цифра 2^n

    1                   2

     2                  4

    3                    8

     4                   6

     5                   2

     6                   4

     7                    8

ну и тд. то есть это всегда чётное число, поэтому

(1999)^(2002^1333) оканчивается на 1, так как показатель чётный.

Вот теперь совсем всё.

Пиши четче задания! Видишь, как много может значить какая-то запятая!

 

Answer 2

Давайте рассмотрим оба выражения.

а) \(2001^{2002^{2003}}\)

Чтобы найти последнюю цифру числа, мы можем воспользоваться цикличностью последних цифр. Например, умножение на 1, 5, 6 приводит к тому, что последняя цифра остается неизменной. Посмотрим, как это применить к данному случаю:

- Последняя цифра \(2001\) - \(1\). - Последняя цифра \(2001^2\) - та же, что у \(1^2\) - \(1\). - Последняя цифра \(2001^3\) - та же, что у \(1^3\) - \(1\). - ... - Последняя цифра \(2001^{2002^{2003}}\) - та же, что у \(1\) - \(1\).

Таким образом, последняя цифра числа \(2001^{2002^{2003}}\) - \(1\).

б) \(1999^{2002^{1333}}\)

Также применим цикличность последних цифр:

- Последняя цифра \(1999\) - \(9\). - Последняя цифра \(1999^2\) - та же, что у \(9^2\) - \(1\). - Последняя цифра \(1999^3\) - та же, что у \(9^3\) - \(9\). - ... - Последняя цифра \(1999^{2002^{1333}}\) - та же, что у \(9\) - \(9\).

Таким образом, последняя цифра числа \(1999^{2002^{1333}}\) - \(9\).

Итак, ответы: а) Последняя цифра числа \(2001^{2002^{2003}}\) - \(1\). б) Последняя цифра числа \(1999^{2002^{1333}}\) - \(9\).

Answer 3

Чтобы найти последнюю цифру числа, нужно найти остаток от деления этого числа на 10.

а) Для нахождения последней цифры числа 2001 в степени 2002 в степени 2003, можно воспользоваться свойством остатка от деления: (a * b) % c = ((a % c) * (b % c)) % c.

Таким образом, мы можем найти остаток от деления 2001 на 10, а затем возвести его в степень 2002. Затем найденный результат снова возведем в степень 2003 и найдем остаток от деления на 10.

2001 % 10 = 1 1^2002 % 10 = 1 1^2003 % 10 = 1

Таким образом, последняя цифра числа 2001 в степени 2002 в степени 2003 равна 1.

б) Аналогично, чтобы найти последнюю цифру числа 1999 в степени 2002 в степени 1333, мы сначала найдем остаток от деления 1999 на 10, затем возведем его в степень 2002 и найдем остаток от деления на 10, и затем найденный результат возведем в степень 1333 и снова найдем остаток от деления на 10.

1999 % 10 = 9 9^2002 % 10 = 1 1^1333 % 10 = 1

Таким образом, последняя цифра числа 1999 в степени 2002 в степени 1333 равна 1.