Question

Помогите решить пожалуйста , у самого не хватает ума на это . Производная : y1=e^x-3x²+x+1 y2=e^x*cosx y3=tyx/√x Про интегрировать : y=e^x-cosx+1/x -1 y=√x/3√x² y=5√x+1/√x-3

Answer 1

Смотри решение на фото

Answer 2

Конечно, давайте начнем с решения производных и интегралов.

Производные:

1. \( y_1 = e^x - 3x^2 + x + 1 \) Чтобы найти производную этой функции \( y_1 \) по \( x \), возьмем производные от каждого члена: \[ \frac{dy_1}{dx} = \frac{d}{dx} (e^x) - \frac{d}{dx} (3x^2) + \frac{d}{dx} (x) + \frac{d}{dx} (1) \] Это даст нам: \[ \frac{dy_1}{dx} = e^x - 6x + 1 \]

2. \( y_2 = e^x \cdot \cos(x) \) Возьмем производную произведения функций, используя правило производной произведения: \[ \frac{dy_2}{dx} = \frac{d}{dx} (e^x \cdot \cos(x)) = e^x \cdot (-\sin(x)) + \cos(x) \cdot e^x \] Упростим: \[ \frac{dy_2}{dx} = e^x (\cos(x) - \sin(x)) \]

3. \( y_3 = \frac{tyx}{\sqrt{x}} \) Здесь \( tyx \) предполагается, что это произведение \( t \cdot y \cdot x \). Возьмем производную: \[ y_3 = t \cdot y \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} \] Дифференцируем: \[ \frac{dy_3}{dx} = t \cdot \frac{dy}{dx} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} + t \cdot y \cdot (-\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}) \] Подставляем значение \( y_3 = t \cdot y \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} \), чтобы получить: \[ \frac{dy_3}{dx} = \frac{t}{\sqrt{x}} \cdot \frac{dy}{dx} - \frac{t \cdot y}{2x\sqrt{x}} \]

Интегралы:

1. \( y = e^x - \cos(x) + \frac{1}{x} - 1 \) Для интегрирования данной функции по \( dx \), возьмем интеграл от каждого члена: \[ \int (e^x - \cos(x) + \frac{1}{x} - 1) \,dx = \int e^x \,dx - \int \cos(x) \,dx + \int \frac{1}{x} \,dx - \int 1 \,dx \] Это даст нам: \[ y = e^x - \sin(x) + \ln|x| - x + C \] Где \( C \) - константа интегрирования.

2. \( y = \sqrt{x} / 3\sqrt{x^2} \) Первым шагом, можно упростить данное выражение: \[ y = \frac{\sqrt{x}}{3x} = \frac{1}{3}\sqrt{x} \cdot x^{-1/2} \] Интегрируем: \[ \int \frac{1}{3}x^{-1/2} \,dx = \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = \frac{2}{3}\sqrt{x} + C \]

3. \( y = 5\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} - 3 \) Интегрируем каждый член по отдельности: \[ \int (5\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} - 3) \,dx = \int 5x^{1/2} \,dx + \int x^{-1/2} \,dx - \int 3 \,dx \] Получаем: \[ y = \frac{10}{3}x^{3/2} + 2x^{1/2} - 3x + C \] Где \( C \) - константа интегрирования.

Надеюсь, это поможет вам разобраться с производными и интегралами! Если у вас есть еще вопросы или нужна дополнительная помощь, обращайтесь.