Question

Найдите наибольшее значение функции y = (x − 2)^2 (x − 4) + 2 на отрезке [1; 3].

Answer 1

Решение на фотографии

Answer 2

Найдите наибольшее значение функции
y = (x − 2)^2 (x − 4) + 2 на отрезке [1; 3].

Уточню: Есть понятие точки максимума и есть понятие наибольшего значения функции.
Чтобы найти Наибольшее значение функции на отрезке нужно 
1) проверить наличие точек экстремумов
2) определить из них точки максимума
3) Найти значение функции в точке максимума и на концах отрезка (при необходимости)

Решение:

$\displaystyle y=(x-2)^2(x-4)+2\\\\y`=((x-2)^2)`(x-4)+(x-4)`(x-2)^2+0=\\\\=(2(x-2)*1)(x-4)+1(x-2)^2=(x-2)(2x-8+x-2)=\\\\=(x-2)(3x-10)\\\\y`=0\\\\(x-2)(3x-10)=0\\\\x=2; x=10/3$

получили две точки экстремума. Проверим что это за точки

___+____ 2 _____-______ 10/3 ___+_____
 возр                убыв                         возр

Значит х=2 точка максимума, х=10/3 точка минимума

в отрезок от [1;3] попадет точка х=2 и это точка максимума

найдем значение функции в этой точке

$\displaystyle y(2)=(2-2)^2(2-4)+2=2$

Значит наибольшее значение на отрезке равно 2

Answer 3

Функция, для которой нужно найти наибольшее значение на отрезке [1; 3], задана следующим образом: y = (x - 2)^2 + (x - 4) + 2. Чтобы найти наибольшее значение этой функции на данном отрезке, мы можем использовать различные методы, такие как нахождение критических точек или использование производной функции.

Нахождение критических точек:

Для начала, найдем производную функции y по x и приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки: y' = 2(x - 2) + 1 = 2x - 3

Теперь решим уравнение 2x - 3 = 0: 2x = 3 x = 3/2

Таким образом, у нас есть одна критическая точка x = 3/2.

Проверка значений на концах отрезка:

Теперь проверим значения функции на концах отрезка [1; 3]. Подставим x = 1 и x = 3 в исходную функцию y = (x - 2)^2 + (x - 4) + 2: При x = 1: y = (1 - 2)^2 + (1 - 4) + 2 = 1 + (-3) + 2 = 0

При x = 3: y = (3 - 2)^2 + (3 - 4) + 2 = 1 + (-1) + 2 = 2

Сравнение значений:

Таким образом, мы получили следующие значения функции: y(1) = 0 y(3/2) = ? y(3) = 2

Мы видим, что значение функции y на концах отрезка [1; 3] равно 0 и 2 соответственно. Осталось найти значение функции в критической точке x = 3/2.

Нахождение значения в критической точке:

Подставим x = 3/2 в исходную функцию y = (x - 2)^2 + (x - 4) + 2: y = ((3/2) - 2)^2 + ((3/2) - 4) + 2 = (-1/2)^2 + (-5/2) + 2 = 1/4 - 5/2 + 2 = -9/4 + 8/4 + 8/4 = 7/4

Таким образом, значение функции в критической точке x = 3/2 равно 7/4.

Сравнение значений:

Теперь сравним полученные значения функции: y(1) = 0 y(3/2) = 7/4 y(3) = 2

Мы видим, что наибольшее значение функции y на отрезке [1; 3] равно 7/4, которое достигается в критической точке x = 3/2.

Ответ: Наибольшее значение функции y = (x - 2)^2 + (x - 4) + 2 на отрезке [1; 3] равно 7/4, и оно достигается в точке x = 3/2.