Question

Упростите выражение (1-cos^2x)/(cos^2x-cos2x)

Answer 1

$\frac{1-cos^2x}{cos^2x-cos2x}= \frac{sin^2x}{cos^2x-(cos^2x-sin^2x)}= \\ \\ = \frac{sin^2x}{cos^2x-cos^2x+sin^2x}= \frac{sin^2x}{sin^2x}=1$

Answer 2

Для упрощения данного выражения `(1-cos^2x)/(cos^2x-cos2x)`, мы можем использовать тригонометрические тождества и алгебраические преобразования. Давайте разберемся подробнее.

Шаг 1: Преобразование числителя

Начнем с числителя `(1-cos^2x)`. Заметим, что это разность двух квадратов и может быть упрощено с помощью формулы `(a^2 - b^2) = (a+b)(a-b)`. Применим эту формулу:

`(1-cos^2x) = (1-cosx)(1+cosx)`

Шаг 2: Преобразование знаменателя

Теперь рассмотрим знаменатель `(cos^2x - cos2x)`. Заметим, что `cos2x` может быть выражено через `cosx` с помощью тригонометрической формулы `cos2x = 2cos^2x - 1`. Подставим это значение:

`(cos^2x - cos2x) = (cos^2x - (2cos^2x - 1)) = (cos^2x - 2cos^2x + 1) = (-cos^2x + 1)`

Шаг 3: Замена выражения

Теперь мы можем заменить числитель и знаменатель в исходном выражении:

`(1-cos^2x)/(cos^2x-cos2x) = (1-cosx)(1+cosx)/(-cos^2x + 1)`

Шаг 4: Упрощение дроби

Для упрощения данной дроби, мы можем сократить общие множители в числителе и знаменателе. Заметим, что `(1+cosx)` в числителе и знаменателе является общим множителем:

`(1-cosx)(1+cosx)/(-cos^2x + 1) = -(1-cosx)/(cos^2x - 1)`

Итоговый упрощенный вид

Таким образом, упрощенное выражение `(1-cos^2x)/(cos^2x-cos2x)` равно `-(1-cosx)/(cos^2x - 1)`.