Question

Помогите, пожалуйста с алгеброй. Определенный интеграл. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями. y=x^2-16; y=5x-10

Answer 1

Сначала найдем точки пересечения графиков:

$y=x^2-16\; ,\; y=5x-10\\\\x^2-16=5x-10\; \; \to \; \; x^2-5x-6=0\; ,\; x_1=-1,\; x_2=6\\\\S=\int _{-1}^6(5x-10-(x^2-16))dx=\int _{-1}^6(-x^2+5x+6)dx=\\\\=(-\frac{x^3}{3}+\frac{5x^2}{2}+6x)_{-1}^6=(-72+90+36)-(\frac{1}{3}+\frac{5}{2}-6)=\\\\=54-(\frac{17}{6}-6)=54+\frac{19}{6}=\frac{343}{6}$

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной двумя кривыми, необходимо найти точки их пересечения. В данном случае, необходимо решить систему уравнений:

y = x^2 - 16 y = 5x - 10

Чтобы найти точки пересечения, приравняем выражения для y:

x^2 - 16 = 5x - 10

Перенесем все выражения в одну сторону и приведем квадратное уравнение к стандартному виду:

x^2 - 5x - 6 = 0

Теперь найдем корни данного уравнения с помощью квадратного трехчлена:

D = (-5)^2 - 4 * 1 * (-6) = 25 + 24 = 49

x1 = (-(-5) + sqrt(49)) / 2 = (5 + 7) / 2 = 6 x2 = (-(-5) - sqrt(49)) / 2 = (5 - 7) / 2 = -1

Таким образом, получаем две точки пересечения: A(6, 20) и B(-1, -15).

Теперь мы должны найти площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми, с помощью определенного интеграла. Формула для нахождения площади между двумя кривыми задается следующим образом:

S = ∫[a,b] (f(x) - g(x)) dx

где f(x) и g(x) - уравнения кривых, a и b - их точки пересечения.

В нашем случае у нас есть две кривые: y = x^2 - 16 и y = 5x - 10. По предыдущим вычислениям, точки пересечения а и b равны 6 и -1 соответственно.

Теперь, чтобы найти площадь, вычислим определенный интеграл:

S = ∫[-1,6] (x^2 - 16 - 5x + 10) dx

S = ∫[-1,6] (x^2 - 5x - 6) dx

Раскроем скобки и проинтегрируем каждое слагаемое отдельно:

S = ∫[-1,6] (x^2) dx - ∫[-1,6] (5x) dx - ∫[-1,6] (6) dx

S = [(1/3)x^3] = [-1,6] - [(5/2)x^2] = [-1,6] - (6x) - [6x] = [-1,6] - 12x

Теперь подставим пределы интегрирования и вычислим:

S = [(1/3)(6)^3] - [(1/3)(-1)^3] - 12(6 - (-1)) = [72/3] - [-1/3] - 12(7) = 24 - (-1/3) - 84 = 24 + 1/3 - 84 = 72/3 + 1/3 - 84 = 73/3 - 84 = (73 - 252)/3 = -179/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривыми y = x^2 - 16 и y = 5x - 10, равна -179/3 (или приближенно -59.67).