Question

Помогите пожалуйста! Сколько существует различных пар натуральных чисел, разность квадратов которых равна 45? А. 1 Б. 2 В. 3 Г. 4

Answer 1

$a^2-b^2=45\; \; \Rightarrow \; \; \; (a-b)(a+b)=45\\\\45=3\cdot 3\cdot 5\; \; \Rightarrow \; \; \; 45=3\cdot 15\; \; ili\; \; 45=5\cdot 9\\\\ \left \{ {{a-b=3} \atop {a+b=15}} \right. \; \; \; ili\; \; \; \left \{ {{a-b=5} \atop {a+b=9}} \right. \\\\ \left \{ {{a=9} \atop {b=6}} \right. \; \; \; ili\; \; \; \left \{ {{a=7} \atop {b=2}} \right. \\\\Proverka:\; \; 9^2-6^2=81-36=45\\\\ . \qquad \qquad \qquad 7^2-2^2=49-4=45\\\\Otvet:\; \; 2\; paru\; .$

Answer 2

Для решения этой задачи нам необходимо найти все пары натуральных чисел, разность их квадратов которых равна 45.

Пусть эти числа обозначаются как x и y. Тогда условие задачи можно записать в виде уравнения:

x^2 - y^2 = 45.

Данное уравнение является разностью квадратов и может быть факторизовано следующим образом:

(x - y)(x + y) = 45.

Теперь мы должны разложить число 45 на все пары его множителей. Делители числа 45: 1, 3, 5, 9, 15, 45. Воспользуемся этими делителями для разложения числа 45 на все пары множителей:

(1, 45), (3, 15), (5, 9).

Теперь остается решить систему уравнений:

x - y = 1, x + y = 45, x - y = 3, x + y = 15, x - y = 5, x + y = 9.

Решение первой системы уравнений: x = 23, y = 22. Решение второй системы уравнений: x = 9, y = 6. Решение третьей системы уравнений: нет натуральных чисел, удовлетворяющих условию.

Итак, у нас получилось две различные пары натуральных чисел, разность квадратов которых равна 45. Ответ: Б. 2.