Question

Решите уравнение. (x^2+2x)^2-(x+1)^2=55

Answer 1

(x²+2x)²-(x²+2x)-1-55=0
x²+2x=a
a²-a-56=0
a1+a2=1 U a1*a2=-56
a1=-7⇒x²+2x=-7⇒x²+2x+7=0
D=4-28=-24-нет корней
a2=8⇒x²+2x=8⇒x²+2x-8=0
x1+x2=-2 U x1*x2=-8⇒x1=-4 U x2=2

Answer 2

Давайте решим уравнение подробно.

У нас дано уравнение:

(x^2 + 2x)^2 - (x + 1)^2 = 55

Для начала раскроем скобки:

((x^2 + 2x)(x^2 + 2x)) - (x + 1)(x + 1) = 55

Далее, упростим выражение в скобках:

(x^4 + 4x^3 + 4x^2) - (x^2 + 2x + 2x + 1) = 55

Раскроем скобки и объединим подобные слагаемые:

x^4 + 4x^3 + 4x^2 - x^2 - 4x - 1 = 55

Теперь приведём подобные слагаемые вместе:

x^4 + 4x^3 + 3x^2 - 4x - 56 = 0

Данное уравнение является квадратным по степени 4. Чтобы решить его, нужно воспользоваться методом факторизации или численными методами.

Применим метод факторизации к данному уравнению:

(x^2 + 8x + 14)(x^2 - 4x - 4) = 0

Теперь решим каждый из этих двух множителей:

x^2 + 8x + 14 = 0

Для решения этого квадратного уравнения можно воспользоваться формулой дискриминанта:

D = b^2 - 4ac

где a = 1, b = 8 и c = 14.

D = 8^2 - 4 * 1 * 14 = 64 - 56 = 8

Так как дискриминант D положительный, у нас есть два действительных корня:

x = (-b ± √D) / (2a)

x = (-8 ± √8) / (2 * 1)

x = (-8 ± 2√2) / 2

Упростим это выражение:

x = -4 ± √2

Таким образом, первые два корня уравнения x^2 + 8x + 14 = 0 равны:

x₁ = -4 + √2

x₂ = -4 - √2

Теперь решим второй множитель:

x^2 - 4x - 4 = 0

Также воспользуемся формулой дискриминанта:

D = b^2 - 4ac

где a = 1, b = -4 и c = -4.

D = (-4)^2 - 4 * 1 * (-4) = 16 + 16 = 32

Так как дискриминант D положительный, у нас есть два действительных корня:

x = (-b ± √D) / (2a)

x = (4 ± √32) / 2

x = (4 ± 4√2) / 2

Упростим это выражение:

x = 2 ± 2√2

Таким образом, вторые два корня уравнения x^2 - 4x - 4 = 0 равны:

x₃ = 2 + 2√2

x₄ = 2 - 2√2

Итак, уравнение (x^2 + 2x)^2 - (x + 1)^2 = 55 имеет четыре корня:

x₁ = -4 + √2

x₂ = -4 - √2

x₃ = 2 + 2√2

x₄ = 2 - 2√2