Question

Помогите срочно : упростить 1/cos^2(x)-tg^2(x)*(cos^2(x)+1)

Answer 1

$\frac{1}{cos^{2}x}=tg^{2} x+1$
$tg^{2} x(cos^{2}x +1)=sin^{2} x+tg^{2} x$$tg^{2} x+1-sin^{2} x-tg ^{2} x=1-sin ^{2}x=cos^{2} x$

Answer 2

Для упрощения данного выражения, в первую очередь, заметим, что:

cos^2(x) + sin^2(x) = 1

Подставив это равенство, получим:

1/cos^2(x) - tg^2(x)*(cos^2(x)+1) = 1/cos^2(x) - tg^2(x)*sin^2(x)

Далее, воспользуемся тригонометрическим тождеством:

tg(x) = sin(x)/cos(x)

Подставим его:

1/cos^2(x) - (sin^2(x)/cos^2(x))*sin^2(x)

Теперь упростим дробь слева, получим общий знаменатель:

1/cos^2(x) - (sin^2(x)*sin^2(x))/cos^2(x)

Далее, объединим два слагаемых с одинаковыми знаменателями:

(1 - sin^2(x)*sin^2(x))/cos^2(x)

Выполним упрощение числителя:

(1 - sin^4(x))/cos^2(x)

Теперь, вспомним тригонометрическое тождество:

sin^2(x) + cos^2(x) = 1

И выразим sin^2(x):

sin^2(x) = 1 - cos^2(x)

Подставим это равенство:

(1 - (1 - cos^2(x))^2)/cos^2(x)

Раскроем скобки:

(1 - (1 - 2*cos^2(x) + cos^4(x)))/cos^2(x)

Упростим числитель:

(2*cos^2(x) - cos^4(x))/cos^2(x)

Теперь вынесем общий множитель:

cos^2(x) * (2 - cos^2(x))/cos^2(x)

И, наконец, упростим:

2 - cos^2(x)

Таким образом, упрощенное выражение равно: 2 - cos^2(x)