Question

Вычислить интеграл 1){((sin^2)xcosx)dx 2){((cos^3)xsinx)dx

Answer 1

1)  {((sin^2)xcosx)dx = {((sin^2)x)d(sinx) =( (sin^3)x) / 3 + C
2) ((cos^3)xsinx)dx = - ((cos^3)xd(cosx) =( - (cos^4)x) / 4 + C

Answer 2

К сожалению, в вашем запросе есть опечатки, и я не могу точно понять, какой интеграл вы хотите вычислить. Вероятно, вы имели в виду следующее:

\[ \int \left( \frac{\sin^2 x \cos x}{2} \right) \, dx + \int \left( \frac{\cos^3 x \sin x}{2} \right) \, dx \]

Если это так, то давайте решим каждый из интегралов по отдельности.

1. Рассмотрим первый интеграл:

\[ \int \left( \frac{\sin^2 x \cos x}{2} \right) \, dx \]

Мы можем воспользоваться заменой переменной. Пусть \( u = \sin x \), тогда \( du = \cos x \, dx \). Таким образом, интеграл превращается в:

\[ \frac{1}{2} \int u^2 \, du \]

Интегрируем по \( u \):

\[ \frac{1}{2} \cdot \frac{u^3}{3} + C_1 \]

Теперь возвращаемся к переменной \( x \):

\[ \frac{1}{6} \sin^3 x + C_1 \]

2. Теперь рассмотрим второй интеграл:

\[ \int \left( \frac{\cos^3 x \sin x}{2} \right) \, dx \]

Опять же, воспользуемся заменой переменной. Пусть \( v = \cos x \), тогда \( dv = -\sin x \, dx \). Интеграл становится:

\[ -\frac{1}{2} \int v^3 \, dv \]

Интегрируем по \( v \):

\[ -\frac{1}{2} \cdot \frac{v^4}{4} + C_2 \]

Теперь возвращаемся к переменной \( x \):

\[ -\frac{1}{8} \cos^4 x + C_2 \]

Таким образом, итоговый ответ:

\[ \frac{1}{6} \sin^3 x - \frac{1}{8} \cos^4 x + C \]

где \( C \) - постоянная интегрирования.