Question

Упростите выражение 3sin^2a+cos^4a/1+sin^2a+sin^4a

Answer 1

$\frac{3sin^2a+cos^4a}{1+sin^2a+sin^4a} =\frac{2sin^2a+sin^2a+cos^2a*cos^2a}{1+sin^2a+sin^2a*sin^2a}= \\ =\frac{2sin^2a+sin^2a+cos^2a(1-sin^2a)}{1+sin^2a+sin^2a(1-cos^2a)}=\frac{2sin^2a+sin^2a+cos^2a-sin^2a*cos^2a}{1+sin^2a+sin^2a-sin^2a*cos^2a}=$
$\frac{2sin^2a+1-sin^2a*cos^2a}{1+2sin^2a-sin^2a*cos^2a}=1$

Answer 2

Чтобы упростить данное выражение, раскроем квадраты и приведем подобные слагаемые:

3sin^2a + cos^4a = 3(1 - cos^2a) + (1 - sin^2a)^2 = 3 - 3cos^2a + 1 - 2sin^2a + sin^4a = 4 - 3cos^2a - 2sin^2a + sin^4a

Разложим числитель и знаменатель на множители:

1 + sin^2a + sin^4a = (sin^2a)(sin^2a + 1) + 1 = (sin^2a)(sin^2a + 1) + (sin^2a + 1) = (sin^2a + 1)(sin^2a + 1)

Теперь запишем исходное выражение с учетом результата разложения:

(4 - 3cos^2a - 2sin^2a + sin^4a) / (sin^2a + 1)(sin^2a + 1)

При этом можно заметить, что 3cos^2a + 2sin^2a является частным квадратов тригонометрических функций:

3cos^2a + 2sin^2a = (√3cos^2a)^2 + (√2sin^2a)^2 = (√3 cos a)^2 + (√2 sin a)^2 = (√3 cos a)^2 + (√2 sin a)^2 + 2√2 cos a sin a - 2√2 cos a sin a = (√3 cos a)^2 + (√2 sin a)^2 + 2√2 cos a sin a - 2√2 cos a sin a = (√3 cos a + √2 sin a)^2 - 2√2 cos a sin a

Теперь выражение может быть переписано в следующем виде:

(4 - (√3 cos a + √2 sin a)^2 + 2√2 cos a sin a + sin^4a) / (sin^2a + 1)(sin^2a + 1)

Заметим, что (√3 cos a + √2 sin a)^2 = 3 cos^2a + 2 sin^2a + 2√6 cos a sin a Тогда выражение примет вид:

(4 - (3 cos^2a + 2 sin^2a + 2√6 cos a sin a) + 2√2 cos a sin a + sin^4a) / (sin^2a + 1)(sin^2a + 1)

Далее проведем некоторые алгебраические преобразования и сгруппируем подобные слагаемые:

(4 - 3 cos^2a - 2 sin^2a + sin^4a + 2√2 cos a sin a - 2√6 cos a sin a) / (sin^2a + 1)(sin^2a + 1) = (sin^4a - 3 cos^2a - 2 sin^2a + 4√2 cos a sin a - 2√6 cos a sin a + 4) / (sin^2a + 1)(sin^2a + 1)

Таким образом, упрощенное выражение равно (sin^4a - 3 cos^2a - 2 sin^2a + 4√2 cos a sin a - 2√6 cos a sin a + 4) / (sin^2a + 1)(sin^2a + 1)