Question

Решите неравенство а)х²+х-6≤0 б) t²≥3t

Answer 1

$1)\; \; x^2+x-6\leq 0\\\\x_1=-3\; ,\; x_2=2\; \; (teorema\; Vieta)\\\\(x+3)(x-2)\leq 0\\\\Znaki:\; \; +++[-3\, ]---[\, 2\, ]+++\\\\x\in [-3,2\, ]\\\\2)\; \; t^2\geq 3t\\\\t^2-3t\geq 0\\\\t(t-3)\geq 0\\\\znaki:\; \; +++[\, 0\, ]---[\, 3\, ]+++\\\\x\in (-\infty ,0\, ]\cup [\, 3,+\infty )$

Answer 2

Решение неравенства а) х² + х - 6 ≤ 0:

Для решения данного неравенства, мы можем воспользоваться методом анализа знаков или методом факторизации.

Метод анализа знаков:

1. Найдем корни уравнения х² + х - 6 = 0. Для этого мы можем либо применить квадратное уравнение, либо заметить, что (х + 3)(х - 2) = 0. Таким образом, корни равны х₁ = -3 и х₂ = 2.

2. Построим таблицу анализа знаков для данного уравнения: 

На основе таблицы анализа знаков, мы видим, что х² + х - 6 ≤ 0, когда -3 ≤ х ≤ 2. Таким образом, решением неравенства является интервал [-3, 2].

Метод факторизации:

1. Разложим левую часть неравенства на множители: х² + х - 6 = (х - 2)(х + 3).

2. Найдем значения х, при которых каждый из множителей равен нулю: х - 2 = 0 => х = 2, х + 3 = 0 => х = -3.

3. Построим числоовую ось и отметим найденные значения х:


4. Используя тестовую точку (например, 0), проверим знаки в каждом интервале:

- При х < -3: (-)(-) - 6 < 0, не выполняется. - При -3 < х < 2: (-)(+) - 6 < 0, выполняется. - При х > 2: (+)(+) - 6 < 0, не выполняется.

Таким образом, решением неравенства является интервал (-3, 2].

Решение неравенства б) t² ≥ 3t:

Для решения данного неравенства, мы можем переписать его в виде квадратного уравнения и применить метод анализа знаков или использовать метод переноса всех членов в одну сторону.

1. Перепишем неравенство в виде квадратного уравнения: t² - 3t ≥ 0.

2. Разложим левую часть неравенства на множители: t(t - 3) ≥ 0.

3. Найдем значения t, при которых каждый из множителей равен нулю: t = 0, t - 3 = 0 => t = 3.

4. Построим числоовую ось и отметим найденные значения t:


5. Используя тестовую точку (например, 2), проверим знаки в каждом интервале:

- При t < 0: (-)(-) ≥ 0, выполняется. - При 0 < t < 3: (+)(-) ≥ 0, не выполняется. - При t > 3: (+)(+) ≥ 0, выполняется.

Таким образом, решением неравенства являются два интервала: (-∞, 0] и [3, +∞).