Question

Решите уравнение 4х^2-9х-11=4 (корень из 2 + корень из 3)^2-9 (корень из 2 + корень из 3)-11 С полным решением, пожалуйста прим.в скобках складываются корни

Answer 1

Решить уравнение:
$4 x^{2} - 9x - 11 = 4( \sqrt{2} + \sqrt{3} )^2-9( \sqrt{2} + \sqrt{3} )-11$

Пусть $\sqrt{2} + \sqrt{3} = y$
$4 x^{2} - 9x - 11 = 4y^2-9y-11 \\ \\ 4 x^{2} -4y^2 - 9x +9y = 0 \\ \\ 4 (x^{2} -y^2) - 9(x-y) = 0 \\ \\ (x-y)(4 (x+y) - 9) = 0$

 $1) x-y = 0 \ ; \ x_=y = \sqrt{2} + \sqrt{3} \approx 3,146$

$2) 4 (x+y) - 9= 0 \\ \\ 4x = 9-4y \\ \\ x_2 = \frac{9 - 4(\sqrt{2} + \sqrt{3})}{4} = 2,25 - (\sqrt{2} + \sqrt{3}) \approx - 0,896$

Ответе: $x_1 = \sqrt{2} + \sqrt{3}$ ;  $x_2 = 2,25 - (\sqrt{2} + \sqrt{3})$

Answer 2

Давайте решим уравнение шаг за шагом.

Исходное уравнение: \[4x^2 - 9x - 11 = 4 + (\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 - 9 + (\sqrt{2} + \sqrt{3}) - 11.\]

Начнем с вычисления того, что находится в скобках:

\[(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 = (\sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{2} + \sqrt{3}) = 2 + 2\sqrt{2}\sqrt{3} + 3 = 5 + 2\sqrt{6}.\]

Теперь подставим это значение в уравнение:

\[4x^2 - 9x - 11 = 4 + (5 + 2\sqrt{6}) - 9 + (\sqrt{2} + \sqrt{3}) - 11.\]

Упростим это уравнение:

\[4x^2 - 9x - 11 = 4 + 5 - 9 - 11 + 2\sqrt{6} + \sqrt{2} + \sqrt{3}.\]

Группируем похожие члены:

\[4x^2 - 9x - 11 = -11 - 9 + 4 + \sqrt{2} + \sqrt{3} + 2\sqrt{6} - 9x.\]

Теперь упростим:

\[4x^2 - 9x - 11 = -16 + \sqrt{2} + \sqrt{3} + 2\sqrt{6} - 9x.\]

Теперь уравнение имеет вид:

\[4x^2 - 9x = -16 + \sqrt{2} + \sqrt{3} + 2\sqrt{6}.\]

Добавим 11 ко всем членам уравнения:

\[4x^2 - 9x + 11 = -5 + \sqrt{2} + \sqrt{3} + 2\sqrt{6} - 9x.\]

Теперь у нас есть уравнение в квадрате:

\[4x^2 - 9x + 11 = \sqrt{2} + \sqrt{3} + 2\sqrt{6} - 5.\]

Переносим все члены с корнями на одну сторону:

\[4x^2 - 9x + 16 - \sqrt{2} - \sqrt{3} - 2\sqrt{6} = -5.\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение:

\[4x^2 - 9x + 16 - \sqrt{2} - \sqrt{3} - 2\sqrt{6} + 5 = 0.\]

\[4x^2 - 9x + 21 - \sqrt{2} - \sqrt{3} - 2\sqrt{6} = 0.\]

Теперь это уравнение можно решить, используя квадратное уравнение или другие методы. Однако, без точных числовых значений, я не могу предоставить конкретные значения корней. Если у вас есть конкретные числовые значения, вы можете использовать квадратную формулу для нахождения корней уравнения.