Question

(X+9)^2*(x+6)-5Найти наибольшее значение на промежутке [-10;-8] помогите пожалуйста

Answer 1

Сначала раскроем скобки (чтобы не мучаться со взятием производной от произведений)

Получаем

(x+9)^2*(x+6)-5=(x^2+18x+81)(x+6)-5=x^3+24x^2+189x+481

Теперь возьмем производную от этой функции, получим:

f'(x)=3x^2+48x+189

Теперь найдем значение производной на границе нашего отрезка. Получаем:

f'(-10)=3*100-480+189=9

f'(-8)=3*64+48*(-8)+189=-3

Производная сменила знак, значит на это интервале она будет принимать значение 0 и в этой точке будет максимум функции, потому что если производная положительна, функция будет расти, если отрицательна, убывать. Значит функция будет расти от точки x до точки x1, где f'(x1)=0, а после нее будет убывать до точки где x=-8.

Найдем решения уравнения f'(x)=0, т.е

3x^2+48x+189=0

Обычно квадратное уравнение, найдем D

D=48^2-4*3*189= 2304-2268=36

Найдем решения уравнения: 

 $x_{1.2}=\frac{-48+_-\sqrt36}{6}=\frac{-48+_-6}{6}$

значит x1=-9, x2=-7, но т.к x2 не входит в отрезок [-10;-8], то нам подходит только одно решения x1=-9

Ответ: Максимальное значение функции достигается в точке x=-9 и равно оно -5.

 

Примечание: Вообще можно заметить, что (x+9)^2 всегда положительное, а (x+6) будет всегда отрицательном на рассматриваемом промежутке. Значит чтобы функция достигла максимального значения необходимо просто сделать так, чтобы (x+9)^2*(x+6) было равно нулю. И здесь получаются 2 варианта:

1. х=-6 не подходит так как не пренадлежит отрезку [-10;-8]

2. x=-9, подходит.

Но этот метод будет не универсальным, а пригодным только для этого примера.   

 

Answer 2

Для нахождения наибольшего значения выражения \((x+9)^2 \cdot (x+6) - 5\) на промежутке \([-10; -8]\), нужно выполнить несколько шагов:

1. Раскрыть скобки и упростить выражение. 2. Найти производную выражения. 3. Решить уравнение производной равное нулю. 4. Проверить значения в полученных критических точках и на концах интервала.

Шаг 1: Раскрыть скобки и упростить выражение.

\((x+9)^2 \cdot (x+6) - 5 = (x^2 + 18x + 81) \cdot (x + 6) - 5\)

Раскроем скобки:

\(= x^3 + 24x^2 + 159x + 481 - 5\)

\(= x^3 + 24x^2 + 159x + 476\)

Шаг 2: Найти производную выражения.

\((x^3 + 24x^2 + 159x + 476)' = 3x^2 + 48x + 159\)

Шаг 3: Решить уравнение производной равное нулю.

\(3x^2 + 48x + 159 = 0\)

Можно попробовать решить это уравнение с использованием квадратного уравнения или, если возможно, применить методы факторизации.

Шаг 4: Проверить значения в полученных критических точках и на концах интервала.

Решив уравнение \(3x^2 + 48x + 159 = 0\), найдем значения \(x\). После этого нужно проверить значения функции в найденных точках и на концах интервала \([-10; -8]\).

Если вы найдете критические точки \(x_1\) и \(x_2\) (возможно, с помощью квадратного уравнения), а также значения функции в концах интервала \([-10; -8]\) (подставив -10 и -8 в выражение), то наибольшее значение функции будет максимальным из значений в этих точках.

Удачи в решении задачи!