Question

Решить логарифмическое нравчтво log1/2(log2√6-x)>0

Answer 1

$log_{\frac{1}{2} }(log_2\sqrt{6-x})\ \textgreater \ 0\; ,\\\\ODZ:\; \left \{ {{log_2\sqrt{6-x}\ \textgreater \ 0} \atop {x-6\ \textgreater \ 0}} \right. \; \left \{ {{\sqrt{6-x}\ \textgreater \ 1} \atop {x\ \textgreater \ 6}} \right. \; \left \{ {{6-x\ \textgreater \ 1} \atop {x\ \textgreater \ 6}} \right. \; \left \{ {{x\ \textless \ 5} \atop {x\ \textgreater \ 6}} \right. \; \; \; x\in \varnothing \\\\Otvet:\; \; x\in \varnothing \; .$

Answer 2

Давайте решим логарифмическое неравенство:

\[ \log_{\frac{1}{2}}\left(\log_{2}\sqrt{6} - x\right) > 0 \]

Для решения данного неравенства, мы будем использовать свойства логарифмов. Вначале преобразуем неравенство, чтобы избавиться от логарифмов в знаменателе:

\[ \log_{\frac{1}{2}}\left(\log_{2}\sqrt{6} - x\right) > 0 \]

Применим свойство логарифмов \(\log_a(b) = \frac{1}{\log_b(a)}\):

\[ \frac{1}{\log_{2^{-1}}(\log_{2}\sqrt{6} - x)} > 0 \]

Теперь инвертируем обе стороны неравенства (учтем, что величина логарифма должна быть положительной):

\[ \log_{2^{-1}}(\log_{2}\sqrt{6} - x) < 0 \]

Применим теперь свойство логарифма \(\log_a(b) = \frac{1}{\log_b(a)}\) снова:

\[ \frac{1}{\log_{2}(\log_{2}\sqrt{6} - x)} < 0 \]

Теперь рассмотрим два случая:

1. \(\log_{2}\sqrt{6} - x > 1\)

2. \(\log_{2}\sqrt{6} - x < 1\)

Решим каждый случай отдельно:

Случай 1: \(\log_{2}\sqrt{6} - x > 1\)

При этом условии внутренний логарифм положителен, и мы можем инвертировать неравенство без изменения знака:

\[ \frac{1}{\log_{2}(\log_{2}\sqrt{6} - x)} < 0 \]

Это означает, что дробь положительна. Таким образом, в этом случае неравенство выполняется для всех значений \(x\), удовлетворяющих условию \(\log_{2}\sqrt{6} - x > 1\).

Случай 2: \(\log_{2}\sqrt{6} - x < 1\)

Теперь внутренний логарифм отрицателен, и мы должны изменить знак неравенства при инверсии:

\[ \frac{1}{\log_{2}(\log_{2}\sqrt{6} - x)} > 0 \]

Это означает, что дробь положительна. Таким образом, в этом случае неравенство выполняется для всех значений \(x\), удовлетворяющих условию \(\log_{2}\sqrt{6} - x < 1\).

Таким образом, общее решение неравенства - это объединение решений обоих случаев:

\[ x \in (-\infty, \log_{2}\sqrt{6} - 1) \cup (\log_{2}\sqrt{6} - 1, +\infty) \]

Пожалуйста, обратите внимание, что это решение предполагает, что логарифмы имеют действительные значения, и выражение внутри логарифмов положительно.