Question

(X^2+2x)^2-2(x^2+2x)-3=0

Answer 1

Пусть x^2 + 2x = t, тогда
t^2 - 2t - 3 = 0 
D = 4 + 4*3 = 4 + 12 = 16 = 4^2
t1  =( 2 + 4)/2 = 6/2 = 3 ;
t2 = ( 2 - 4)/2 = - 2/2 = - 1 

Имеем 2 уравнения

#1
x^2 + 2x = 3
x^2 + 2x - 3 = 0 
D = 4 + 4*3 = 4 + 12 = 16 = 4^2
x1 = ( - 2 + 4)/2 = 2/2 = 1;
x2 = (  - 2 - 4)/2 = - 3 

#2
x^2 +  2x +  1 = 0 
(x + 1)^2 = 0 
x = - 1 

Ответ:
- 3; - 1; 1 

Answer 2

Давайте решим данное уравнение по шагам.

1. Раскроем скобки: `(x^2 + 2x)^2 - 2(x^2 + 2x) - 3 = 0`

Распределим возведение в квадрат: `(x^2 + 2x)(x^2 + 2x) - 2(x^2 + 2x) - 3 = 0`

Упростим: `x^4 + 4x^3 + 4x^2 - 2x^2 - 4x - 3 = 0`

Объединим подобные члены: `x^4 + 4x^3 + 2x^2 - 4x - 3 = 0`

2. Теперь попробуем разложить это уравнение на множители. Один из способов сделать это - использовать метод подстановки. Предположим, что `x = -1` является одним из корней.

Подставим `x = -1` в уравнение: `(-1)^4 + 4(-1)^3 + 2(-1)^2 - 4(-1) - 3 = 0`

Упростим: `1 - 4 + 2 - 4 - 3 = 0` `-8 = 0`

Видим, что предположение неверно, так как получили ложное уравнение. Значит, `x = -1` не является корнем.

3. Попробуем другой подход. Разложим уравнение на множители с помощью группировки.

Разделим уравнение на две группы: `(x^4 + 4x^3) + (2x^2 - 4x - 3) = 0`

Факторизуем первую группу: `x^3(x + 4) + (2x^2 - 4x - 3) = 0`

Теперь факторизуем вторую группу: `x^3(x + 4) + [(2x^2 - 4x) - 3] = 0`

Разложим вторую группу: `x^3(x + 4) + [2x(x - 2) - 3] = 0`

Мы получили разложение на множители: `(x^3 + 2x(x - 2)) + (x^3 + 4x + (-3)) = 0`

Объединим подобные члены: `x^3 + 2x^2 - 4x + x^3 + 4x - 3 = 0`

Упростим: `2x^3 + 2x^2 + x - 3 = 0`

4. Теперь посмотрим, можно ли дальше разложить это уравнение на множители. Мы видим, что уравнение является кубическим, поэтому попробуем найти его рациональные корни с помощью рационального корневого теоремы.

Возможные рациональные корни уравнения `2x^3 + 2x^2 + x - 3 = 0` могут быть найдены по формуле: `p/q`, где `p` - делитель свободного члена `-3`, а `q` - делитель старшего коэффициента `2`.

Поделим `-3` на `2`: `p = -3`, `q = 2`

Попробуем все возможные комбинации рациональных корней: - `x = 1`: Подставим `x = 1` в уравнение: `2(1)^3 + 2(1)^2 + 1 - 3 = 0` Упростим: `2 + 2 + 1 - 3 = 0` `2 = 0`

Получили ложное уравнение. `x = 1` не является корнем.

- `x = -1`: Подставим `x = -1` в уравнение: `2(-1)^3 + 2(-1)^2 - 1 - 3 = 0` Упростим: `-2 + 2 - 1 - 3 = 0` `-4 = 0`

Получили ложное уравнение. `x = -1` не является корнем.

- `x = 3`: Подставим `x = 3` в уравнение: `2(3)^3 + 2(3)^2 + 3 - 3 = 0` Упростим: `2(27) + 2(9) + 3 - 3 = 0` `54 + 18 + 3 - 3 = 0` `72 = 0`

Получили ложное уравнение. `x = 3` не является корнем.

- `x = -3`: Подставим `x = -3` в уравнение: `2(-3)^3 + 2(-3)^2 - 3 - 3 = 0` Упростим: `2(-27) + 2(9) - 3 - 3 = 0` `-54 + 18 - 3 - 3 = 0` `-42 = 0`

Получили ложное уравнение. `x = -3` не является корнем.

Таким образом, мы не нашли рациональные корни уравнения `2x^3 + 2x^2 + x - 3 = 0`.

5. Однако, мы можем воспользоваться численными методами, такими как метод Ньютона или метод половинного деления, чтобы найти приближенные значения корней этого уравнения.

Например, если мы используем метод Ньютона, мы можем начать с некоторого начального приближения для корня и последовательно уточнять его, применяя рекуррентную формулу.

Решение уравнения `2x^3 + 2x^2 + x - 3 = 0` с использованием численного метода будет выходить за рамки данного текстового ответа. Если вы хотите получить более точные значения корней или узнать о численных методах решения уравнений, пожалуйста, уточните, какой метод или корень вы хотите найти, и я смогу помочь вам с этим.

Пожалуйста, обратите внимание, что я предоставил вам решение до того, как было задано конкретное значение для `x`. Если вам нужно решение с конкретным значением `x`, пожалуйста, уточните его, и я смогу помочь вам с этим.