Question

Найдите первообразную функции f(x)=e^{x} +4x^{3} если известно чтоF(0)=-1

Answer 1

$F(x)=\int\limits {e^x+4x^3} \, dx = \int\limits {e^x} \, dx + \int\limits {4x^3} \, dx =e^x+x^4+C$
Найдем $C$

$F(0)=e^0+0^4+C=-1\\C=-1-1=-2$

Значит, первообразная выглядит таким образом:  $F(x)=e^x+x^4-2$

Answer 2

Чтобы найти первообразную функции f(x) = e^x + 4x^3, если известно, что F(0) = -1, мы можем использовать правила интегрирования и известные свойства экспоненты и степенных функций.

Нахождение первообразной функции

Для нахождения первообразной функции f(x), мы будем интегрировать каждый компонент функции отдельно.

Интегрируем первый компонент e^x:

∫ e^x dx = e^x + C1,

где C1 - постоянная интегрирования.

Интегрируем второй компонент 4x^3:

∫ 4x^3 dx = 4 * ∫ x^3 dx = 4 * (x^4 / 4) = x^4 + C2,

где C2 - постоянная интегрирования.

Теперь объединим оба компонента, чтобы получить первообразную функцию F(x):

F(x) = e^x + x^4 + C,

где C = C1 + C2 - итоговая постоянная интегрирования.

Нахождение конкретного значения по условию

Мы знаем, что F(0) = -1, поэтому мы можем использовать это условие, чтобы найти значение постоянной интегрирования C.

Подставим x = 0 в выражение для F(x):

F(0) = e^0 + 0^4 + C = 1 + 0 + C = 1 + C.

Мы также знаем, что F(0) = -1, поэтому

1 + C = -1.

Решим это уравнение для C:

C = -1 - 1 = -2.

Теперь мы можем записать окончательную первообразную функцию F(x):

F(x) = e^x + x^4 - 2.

Таким образом, первообразная функции f(x) = e^x + 4x^3 при условии F(0) = -1 равна F(x) = e^x + x^4 - 2.