Question

Найти площадь фигуры , ограниченной линиями: y=x^2 и y=2-x^2

Answer 1

См фото
+ решение
============================

Answer 2

Итак, нам даны два уравнения, ограничивающие фигуру: y = x^2 и y = 2 - x^2. Чтобы найти площадь этой фигуры, мы можем воспользоваться методом интегрирования.

Нахождение точек пересечения

Прежде чем продолжить, нам нужно найти точки пересечения этих двух кривых. Для этого приравняем уравнения друг к другу и решим получившееся уравнение:

x^2 = 2 - x^2

Теперь приведем это уравнение к виду:

2x^2 = 2

x^2 = 1

x = ±1

Таким образом, точки пересечения находятся в точках (-1, 1) и (1, 1).

Нахождение площади

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной этими двумя кривыми, мы будем интегрировать разность функций от одной точки пересечения до другой.

Поскольку кривые симметричны относительно оси y, мы можем найти площадь одной половины фигуры и затем удвоить ее.

Для первой половины фигуры интеграл будет выглядеть так:

S = 2 * ∫ (y2 - y1) dx

где y2 - это уравнение y = 2 - x^2, а y1 - это уравнение y = x^2.

Вычисление интеграла

Для вычисления этого интеграла, мы будем интегрировать по переменной x от -1 до 1:

S = 2 * ∫ (2 - x^2 - x^2) dx

Проинтегрируем это выражение:

S = 2 * ∫ (2x^2 - 2) dx

S = 2 * (2/3 * x^3 - 2x) | from -1 to 1

Подставим пределы интегрирования:

S = 2 * [(2/3 * 1^3 - 2 * 1) - (2/3 * (-1)^3 - 2 * (-1))]

S = 2 * [(2/3 - 2) - (-2/3 - 2)]

S = 2 * [(2/3 - 2) - (-2/3 - 2)]

S = 2 * [(2/3 - 2) + (2/3 + 2)]

S = 2 * [(-4/3) + (8/3)]

S = 2 * 4/3

S = 8/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^2 и y = 2 - x^2, равна 8/3 или приблизительно 2.67 единицы площади.