Question

Сократите дробь x+x^2/x^2-1

Answer 1

(x(1+x))/(x-1)(x+1)=x/(x-1)

Answer 2

Для упрощения данной дроби, сначала разложим её на простые дроби. Для этого нам необходимо разложить многочлены в числитель и знаменатель на множители.

Начнем с числителя: x + x^2. Мы можем разложить его на множители следующим образом: x + x^2 = x(1 + x).

Теперь разложим знаменатель: x^2 - 1. Это разность квадратов, поэтому мы можем записать его как произведение суммы и разности квадратов: x^2 - 1 = (x + 1)(x - 1).

Теперь мы можем записать исходную дробь в виде суммы простых дробей: (x + x^2)/(x^2 - 1) = x(1 + x)/((x + 1)(x - 1)).

Теперь проведем разложение на простые дроби: x(1 + x)/((x + 1)(x - 1)) = A/(x + 1) + B/(x - 1).

Чтобы найти значения коэффициентов A и B, нужно привести дроби к общему знаменателю и приравнять числители: x(1 + x) = A(x - 1) + B(x + 1).

Раскроем скобки и сгруппируем подобные члены: x + x^2 = Ax - A + Bx + B.

Теперь сравним коэффициенты при одинаковых степенях x: 1 + x = (A + B)x - A + B.

Таким образом, у нас получается система уравнений: A + B = 1, -A + B = 1.

Решим эту систему уравнений. Сложим оба уравнения: 2B = 2, B = 1.

Подставим значение B в одно из уравнений: A + 1 = 1, A = 0.

Теперь мы знаем значения коэффициентов A и B: A = 0, B = 1.

Исходную дробь можно записать в виде: (x + x^2)/(x^2 - 1) = 0/(x + 1) + 1/(x - 1).

Таким образом, данная дробь может быть упрощена и записана в виде суммы двух простых дробей: 0/(x + 1) + 1/(x - 1).