Question

Помогите с решением: найти первый член и разницу арифметической прогрессии (а[n]), если а[5]+a[1]=24 a[9]+a[3]=54

Answer 1

$a_{5}+a_{1}=24$
$a_{9}+a_{3}=54$

$a_{5}=a_{1}+4d$
$a_{9}=a_{1}+8d$
$a_{3}=a_{1}+2d$

Подставим их в первоначальные выражения:
$\left \{ {{(a_{1}+4d)+a_{1}=24} \atop {(a_{1}+8d)+(a_{1}+2d)=54}} \right.$
$\left \{ {{2a_{1}+4d=24} \atop {2a_{1}+10d=54}} \right.$ - вычтем из второго уравнения первое:
$6d=30, d=5$ - разность арифметической прогрессии найдена. Подставим это значение в одно из уравнений системы, получим:
$2a_{1}+4*5=24$
$2a_{1}=4$
$a_{1}=2$ - первый член арифметической прогрессии

Ответ: $a_{1}=2$, $d=5$

Answer 2

Давайте обозначим первый член арифметической прогрессии через \(a\) и разницу между членами через \(d\). Тогда \(a_5\) - это пятый член прогрессии, \(a_1\) - первый член, \(a_9\) - девятый член, \(a_3\) - третий член.

У нас есть два уравнения:

1. \(a_5 + a_1 = 24\) 2. \(a_9 + a_3 = 54\)

Используем формулу для \(n\)-ного члена арифметической прогрессии:

\[ a_n = a + (n-1)d \]

Теперь применим эту формулу для членов прогрессии из уравнений:

1. Для \(a_5\):

\[ a_5 = a + 4d \]

2. Для \(a_9\):

\[ a_9 = a + 8d \]

3. Для \(a_1\):

\[ a_1 = a \]

4. Для \(a_3\):

\[ a_3 = a + 2d \]

Теперь подставим эти выражения в уравнения:

1. \(a_5 + a_1 = a + 4d + a = 24\) 2. \(a_9 + a_3 = a + 8d + (a + 2d) = 54\)

Упростим уравнения:

1. \(2a + 4d = 24\) 2. \(2a + 10d = 54\)

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными \(a\) и \(d\). Решим эту систему:

Из первого уравнения выразим \(a\):

\[ a = 12 - 2d \]

Подставим это значение во второе уравнение:

\[ 2(12 - 2d) + 10d = 54 \]

Раскроем скобки и упростим:

\[ 24 - 4d + 10d = 54 \]

\[ 6d = 30 \]

\[ d = 5 \]

Теперь найдем \(a\), подставив \(d\) в любое из исходных уравнений. Для примера подставим в первое:

\[ a = 12 - 2 \cdot 5 = 2 \]

Таким образом, первый член \(a\) равен 2, а разница \(d\) равна 5.