Question

Знайти множину розвязкив неривности ctgx<1/√3 на промижку (0,n)

Answer 1

Ctgx<1/√3/ Умножаем числитель и знаменатель на √3 и получаем ctgx<√3/3.
Тогда х<π/3 +2πn и на промежутке (0,n) множество решений неравенства находится х∈(0,π/3).

Answer 2

Для решения неравенства `ctgx < 1/√3` на интервале `(0, n)`, мы можем применить алгебраические и тригонометрические свойства функции котангенса (ctgx) и неравенства.

Алгебраические свойства

Сначала давайте преобразуем неравенство, используя алгебраические свойства, чтобы избавиться от тригонометрической функции.

Так как `ctgx = 1/tgx`, мы можем переписать неравенство следующим образом:

1/tgx < 1/√3

Затем, домножим обе стороны на `√3`:

√3/tgx < 1

Тригонометрические свойства

Теперь воспользуемся тригонометрическими свойствами, чтобы преобразовать неравенство еще дальше.

Свойство тангенса (tgx) гласит: `tgx = sinx/cosx`.

Подставим это в наше неравенство:

√3/(sinx/cosx) < 1

Упростим дробь, умножив на `cosx`:

√3 < sinx/cosx

Диапазон решений

Теперь мы можем определить диапазон значений `x`, для которого выполняется неравенство.

Так как `√3` является положительным числом, мы можем умножить обе стороны неравенства на `cosx` без изменения знака неравенства:

√3 * cosx < sinx

Поскольку `√3` и `cosx` являются положительными, мы можем возвести обе стороны неравенства в квадрат:

(√3 * cosx)^2 < sinx^2

Упростим это выражение:

3 * cos^2(x) < 1 - cos^2(x)

Теперь объединим члены:

4 * cos^2(x) < 1

Деля обе стороны на 4, получаем:

cos^2(x) < 1/4

Извлекая квадратный корень из обеих сторон, мы получаем:

cos(x) < 1/2

Решение неравенства

Теперь мы можем найти множество решений для неравенства `cos(x) < 1/2` на интервале `(0, n)`.

Рассмотрим график функции `cos(x)`:

                 1
                  | 
                  | 
                  | 
                  | 
------------------|-------------------
                 π/3

Мы видим, что `cos(x)` на интервале `(0, π/3)` является положительным. Однако, чтобы удовлетворить неравенство `cos(x) < 1/2`, значение `x` должно быть в интервале `(π/3, 2π/3)`.

Таким образом, множество решений для неравенства `ctgx < 1/√3` на интервале `(0, n)` будет `x ∈ (π/3, 2π/3)`.