Question

Найдите общий вид первообразных для функции f(x)=(3x-2)^3-2cos(5x-пи/3)

Answer 1

f(x)=(3x-2)^3-2cos(5x-пи/3)

F(x)=[(3x-2)^4]/12  - 2sin(5x-пи/3)/5+C

Answer 2

Для нахождения общего вида первообразной для функции f(x) = (3x - 2)^3 - 2cos(5x - π/3), мы должны применить правила интегрирования и найти функцию, производная которой равна данной функции.

Интегрирование мономов

Первым шагом мы можем проинтегрировать каждый моном внутри скобок (3x - 2)^3 отдельно. Для этого мы используем формулу для интегрирования мономов:

∫(x^n) dx = (1/(n+1)) * x^(n+1) + C,

где n - степень монома, а C - произвольная постоянная.

Интегрируя моном (3x - 2)^3, получаем:

∫(3x - 2)^3 dx = (1/4) * (3x - 2)^4 + C1,

где C1 - произвольная постоянная.

Интегрирование тригонометрической функции

Следующий шаг - интегрирование тригонометрической функции -2cos(5x - π/3). Для этого мы используем формулу для интегрирования косинуса:

∫cos(ax + b) dx = (1/a) * sin(ax + b) + C,

где a и b - константы, а C - произвольная постоянная.

Интегрируя функцию -2cos(5x - π/3), получаем:

∫-2cos(5x - π/3) dx = (1/5) * sin(5x - π/3) + C2,

где C2 - произвольная постоянная.

Конечный результат

Теперь мы можем объединить результаты интегрирования мономов и тригонометрической функции, чтобы получить общий вид первообразной для исходной функции f(x):

∫f(x) dx = (1/4) * (3x - 2)^4 + (1/5) * sin(5x - π/3) + C,

где C - произвольная постоянная.

Таким образом, общий вид первообразной для функции f(x) = (3x - 2)^3 - 2cos(5x - π/3) равен (1/4) * (3x - 2)^4 + (1/5) * sin(5x - π/3) + C, где C - произвольная постоянная.