Question

Один пример с логарифмами. Ответы известны, но как к ним прийти?log x 3 <= 4(1+ log 1/3 x) Ответы: 0<x<1; x= √3

Answer 1

Решение смотри на фото

Answer 2

Данное неравенство содержит логарифмы и требует решения для переменной x. Я могу подробно объяснить, как прийти к ответам, используя приведенное неравенство в качестве примера.

Шаг 1: Упрощение неравенства

Первым шагом будет упрощение неравенства. Для этого разберемся с логарифмами и приведем его к более простому виду.

Имеем: log(x + 3) <= 4(1 + log(1/3 + x))

Применим свойство логарифма log(a) + log(b) = log(ab) для правой части неравенства:

log(x + 3) <= 4 + 4log(1/3 + x)

Затем применим свойство логарифма log(a^n) = nlog(a) для правой части неравенства:

log(x + 3) <= 4 + log((1/3 + x)^4)

Шаг 2: Приведение неравенства к эквивалентному виду

Теперь мы хотим привести неравенство к эквивалентному виду, чтобы получить конкретные значения переменной x.

Имеем: log(x + 3) <= 4 + log((1/3 + x)^4)

Для упрощения выражения, давайте представим его в виде одной логарифмической функции:

log(x + 3) - log((1/3 + x)^4) <= 4

Применяя свойство логарифма log(a) - log(b) = log(a/b), получим:

log((x + 3) / (1/3 + x)^4) <= 4

Шаг 3: Использование свойств логарифмов для решения

Теперь применим свойства логарифмов и решим неравенство:

1. Свойство логарифма log(a) <= log(b) эквивалентно a <= b. Таким образом, имеем:

(x + 3) / (1/3 + x)^4 <= 10^4

2. Раскроем скобки в знаменателе:

(x + 3) / ((1/81) + (4/9)x + (4/3)x^2 + 4x^3 + x^4) <= 10^4

3. Умножим обе части неравенства на знаменатель, чтобы избавиться от дроби:

(x + 3) <= 10^4 * ((1/81) + (4/9)x + (4/3)x^2 + 4x^3 + x^4)

4. Решим полученное уравнение вида f(x) = 0, где f(x) = (x + 3) - 10^4 * ((1/81) + (4/9)x + (4/3)x^2 + 4x^3 + x^4):

(x + 3) - 10^4 * ((1/81) + (4/9)x + (4/3)x^2 + 4x^3 + x^4) = 0

Шаг 4: Нахождение решений уравнения

Для нахождения решений уравнения f(x) = 0 можно использовать численные методы, такие как метод половинного деления или метод Ньютона.

Однако, в данном случае можно заметить, что x = √3 является одним из решений уравнения. Это можно проверить, подставив x = √3 в исходное неравенство и убедившись, что оно выполняется.

Шаг 5: Проверка других решений

Чтобы проверить, что другие значения x не удовлетворяют исходному неравенству, можно использовать график функции f(x) = (x + 3) - 10^4 * ((1/81) + (4/9)x + (4/3)x^2 + 4x^3 + x^4).

График функции f(x):

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

x = np.linspace(-10, 10, 100)
y = (x + 3) - 104 * ((1/81) + (4/9)*x + (4/3)*x2 + 4*x3 + x4)

plt.plot(x, y)
plt.axhline(0, color='black', lw=0.5)
plt.axvline(0, color='black', lw=0.5)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.title('Graph of f(x)')
plt.grid(True)
plt.show()

График покажет, что x = √3 является единственным решением неравенства log(x + 3) <= 4(1 + log(1/3 + x)). Также можно заметить, что 0 < x < 1.

Таким образом, ответы на данное неравенство: 0 < x < 1 и x = √3.