Question

Решите неравенство х²+5х-14<0

Answer 1

$x^2+5x-14\ \textless \ 0 \\ D=25+56=81=9^2 \\ x_1=(-5-9)/2=-7 \\ x_2=(-5+9)/2=2 \\ \\ (x+7)(x-2)=0 \\ x \in (-7;2)$

методом интервалов
++++------++++
      -7      2
x∈(-7;2)

Answer 2

Чтобы решить данное квадратное неравенство, давайте найдем корни квадратного трехчлена \(х^2 + 5х - 14\) и определим, где он положителен, а где отрицателен.

Уравнение \(х^2 + 5х - 14 = 0\) можно решить, используя квадратное уравнение:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

где у нас \(a = 1\), \(b = 5\), и \(c = -14\). Подставим эти значения и решим:

\[x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14)}}{2 \cdot 1}\]

\[x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}\]

\[x = \frac{-5 \pm \sqrt{81}}{2}\]

\[x = \frac{-5 \pm 9}{2}\]

Таким образом, у нас есть два корня: \(x_1 = -7\) и \(x_2 = 2\).

Теперь давайте разберемся с неравенством. Мы хотим знать, когда выражение \(х^2 + 5х - 14\) меньше нуля:

\[(x + 7)(x - 2) < 0\]

Теперь посмотрим на интервалы между корнями. У нас есть три интервала: \((- \infty, -7)\), \((-7, 2)\), и \((2, +\infty)\). Выберем тестовую точку из каждого интервала (обычно можно взять 0 для упрощения):

1. Для интервала \((- \infty, -7)\): Пусть \(x = -8\). \(((-8) + 7)((-8) - 2) = (-1)(-10) > 0\)

2. Для интервала \((-7, 2)\): Пусть \(x = 0\). \((0 + 7)(0 - 2) = (7)(-2) < 0\)

3. Для интервала \((2, +\infty)\): Пусть \(x = 3\). \((3 + 7)(3 - 2) = (10)(1) > 0\)

Теперь мы видим, что неравенство выполняется на интервалах \((-7, 2)\), когда выражение меньше нуля. Таким образом, решение данного неравенства - \(-7 < x < 2\).