Question

Решить уравнение 3sin^2x+1/2sin2x=2cos^2x

Answer 1

$3sin^2 x+\frac{1}{2}sin(2x)=2cos^2x$
используем формулу двойного синуса $sin(2A)=2sinAcosA$
$3sin^2 x+\frac{1}{2}*2sin x*cos x-2cos^2 x=0$
$3sin^2 x+sin x*cos x-2cos^2 x=0$
при $sin x=0; cos x=1; 3*0^2+0*1-2*(1)^2 =-2\neq 0$
при $sin x=0; cos x=-1; 3*0^2+0*(-1)-2*(-1)^2 =-2\neq 0$
значит при делении на $cos^2 x$ потери корней не будет

делим на $cos^2 x$, при этом используем $tg x=\frac{sin x}{cos x}$

получим уравнение
$3tg^2 x+tg x-2=0$
делаем замену
$tg x=y$
$3y^2+y-2=0$
$D=1^2-4*3*(-2)=25=5^2$
$y_1=\frac{-1-5}{2*3}=-1$
$y_2=\frac{-1+5}{2*3}=\frac{2}{3}$
возвращаемся к замене
$tg x=-1; x=arctg(-1)+\pi*k$
$x=-\frac{\pi}{4}+\pi*k$, k є Z

$tg x=\frac{2}{3}$
$x=arctg \frac{2}{3}+\pi*n$, n є Z
ответ: $-\frac{\pi}{4}+\pi*k$, k є Z
$arctg \frac{2}{3}+\pi*n$, n є Z

Answer 2

Давайте начнем с того, что перепишем все функции с использованием тригонометрических тождеств.

У нас есть уравнение: \(3\sin^2x + \frac{1}{2}\sin2x = 2\cos^2x\).

Первым шагом мы можем заменить \(\sin^2x\) и \(\cos^2x\) через основное тригонометрическое тождество: \(\sin^2x + \cos^2x = 1\). Поскольку \(\cos^2x = 1 - \sin^2x\), мы можем заменить \(\cos^2x\) в уравнении:

\[3\sin^2x + \frac{1}{2}\sin2x = 2(1 - \sin^2x).\]

Далее давайте заменим \(\sin2x\) через формулу двойного угла для синуса: \(\sin2x = 2\sin x \cos x\):

\[3\sin^2x + \frac{1}{2} \cdot 2\sin x \cos x = 2 - 2\sin^2x.\]

Теперь раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

\[3\sin^2x + \sin x \cos x = 2 - 2\sin^2x.\]

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

\[3\sin^2x + \sin x \cos x + 2\sin^2x - 2 = 0.\]

Упростим выражение:

\[5\sin^2x + \sin x \cos x - 2 = 0.\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \(\sin x\):

\[5\sin^2x + \sin x \cos x - 2 = 0.\]

Решение этого уравнения может быть достигнуто путем замены переменной (например, \(u = \sin x\)) или других методов, однако, данный вид уравнения может оказаться сложным для аналитического решения. Обычно для решения таких уравнений используют численные методы или графический анализ.

Надеюсь, что показанные шаги помогут вам в дальнейших вычислениях или решении уравнения.