Question

Докажите что функция f(x)=x^2cos x является четной

Answer 1

$f(- x) = (-x)^2 * cos (-x) = (-1)^2 * x^{2} * cos (x) = x^{2} cos (x)$
т.к. f(- x) = f(x) то функция f(x)=x^2cos x - является четной

Answer 2

Давайте рассмотрим функцию \(f(x) = x^2 \cos x\). Чтобы доказать, что эта функция является четной, мы должны показать, что для любого \(x\) выполняется равенство \(f(x) = f(-x)\).

1. Подставим \(-x\) вместо \(x\) в функцию \(f(x)\):

\[f(-x) = (-x)^2 \cos(-x)\]

2. Упростим полученное выражение:

\[f(-x) = x^2 \cos(-x)\]

3. Заметим, что \(\cos(-x) = \cos x\), так как косинус является четной функцией.

Теперь мы можем подставить это обратно в выражение для \(f(-x)\):

\[f(-x) = x^2 \cos x\]

Таким образом, мы видим, что \(f(x) = f(-x)\) для любого \(x\), и функция \(f(x) = x^2 \cos x\) является четной.

Важно отметить, что для функции \(f(x)\) быть четной, необходимо, чтобы график функции был симметричен относительно оси y. В данном случае, график \(f(x) = x^2 \cos x\) симметричен относительно оси y, что подтверждает четность этой функции.