Question

Найти промежутки возрастания(убывания) и точки максимума и минимума функции у=е^х/(х+1)

Answer 1

Y=eˇx/(x+1)

(u/v)´= (u´v-uv´)/v²
u=eˇx, v=x+1, u´=eˇx , v´= 1
y´=(eˇx(x+1)-eˇx)/(x+1)²=(x.eˇx +eˇx -eˇx)/(x+1)²=x.eˇx/(x+1)²
a)bozpactaet: x∈(0,∞)
b)ybibaet: x∈x∈(-∞,0)
y´=0, ecli x=0
y´´=((eˇx+x)(x+1)²-2x.eˇx(x+1))/(x+1)ˇ4
y´´ (0)=((1+0).1²-2.0.eˇ0 (0+1)/(0+1)ˇ4=(1-0)/1=1
v točke x=0 minimum
y(0)=eˇ0/(0+1)=1/1=1
Minimum v točke A(0,1)
Maximum net.

Answer 2

Чтобы найти промежутки возрастания (убывания) и точки максимума и минимума функции \(y = \frac{e^x}{x+1}\), давайте выполним несколько шагов:

1. Найти производную функции: \[y' = \frac{e^x \cdot (x+1) - e^x \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{e^x \cdot x}{(x+1)^2}\]

2. Найти критические точки (где производная равна нулю или не существует): \[e^x \cdot x = 0 \implies x = 0\]

Кроме того, функция не существует при \(x = -1\), так как это деление на ноль в исходной функции. Однако, это значение не попадает в область интересующих нас значений \(x > -1\).

3. Исследовать знак производной в интервалах, образованных критическими точками и граничными значениями \(x\):

- При \(x < -1\) функция не определена. - При \(-1 < x < 0\) функция отрицательна, так как \(e^x > 0\) и \((x+1)^2 > 0\). - При \(0 < x\) функция положительна, так как \(e^x > 0\) и \((x+1)^2 > 0\).

4. Найти точки максимума и минимума:

- В точке \(x = 0\) производная меняет знак с отрицательного на положительный, следовательно, у этой точки есть минимум.

5. Найти пределы функции на бесконечности:

\[\lim_{{x \to -\infty}} \frac{e^x}{x+1} = 0\] \[\lim_{{x \to +\infty}} \frac{e^x}{x+1} = +\infty\]

Таким образом, у функции \(y = \frac{e^x}{x+1}\) есть минимум в точке \(x = 0\), и она убывает на интервале \((-1, 0)\) и возрастает на интервале \((0, +\infty)\). Функция также стремится к нулю при \(x \to -\infty\) и к положительной бесконечности при \(x \to +\infty\).