Question

Помогите пожалуйста1)Sin2x+Sin4x-cosx=02)Sin квадрат+3sinxcosx+2cos квадрат x=0

Answer 1

1. Складываем по формуле сумма синусов
2sin3x*cosx - cosx = 0
Вынесем общий множитель за скобки
cosx (2sin3x - 1) = 0
Если произведение равно нулю, значит один из множителей равен нулю
1) cosx = 0
$x = \frac{ \pi }{2} + \pi n$
2) 2sin3x -1 = 0
sin3x = 1/2
$3x = (-1)^{k} \frac{ \pi }{6} + \pi k$
$x = (-1)^{k} \frac{ \pi }{18} + \frac{ \pi k}{3}$

2. $sin^{2} x + 3sinxcosx + 2cos^{2} x = 0$
Разделим левую и правую часть на $cos^{2} x$
$tg^{2} x + 3tg + 2 = 0$
Введем новую переменную tgx = t
$t^{2} +3t +2 = 0$
D = 9 - 8 = 1
$x1 = \frac{-3+1}{2} = -1$
$x2 = \frac{-3-1}{2} = -2$

1) tgx = -1
$x =- \frac{ \pi }{4} + \pi n$

2) tgx = -2
x = -arctg2x + $\pi k$

Answer 2

Конечно, давайте рассмотрим каждое уравнение по отдельности.

Уравнение 1: \( \sin(2x) + \sin(4x) - \cos(x) = 0 \)

Для решения этого уравнения мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами. Давайте разложим \(\sin(4x)\) и \(\sin(2x)\) через удвоенные углы:

\(\sin(4x) = 2 \sin(2x) \cos(2x)\)

\(\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x)\)

Теперь подставим это в исходное уравнение:

\[ 2 \sin(2x) \cos(2x) + 2 \sin(x) \cos(x) - \cos(x) = 0 \]

Сгруппируем слагаемые:

\[ 2 \sin(2x) \cos(2x) + \cos(x)(2 \sin(x) - 1) = 0 \]

Теперь рассмотрим два случая:

1. \(2 \sin(2x) \cos(2x) = 0\) - это равенство будет выполнено, если хотя бы один из множителей равен нулю. 2. \(2 \sin(x) - 1 = 0\)

Решение для первого случая:

1.1. \(\sin(2x) = 0\)

Это имеет место, если \(2x = k\pi\), где \(k\) - целое число.

Таким образом, \(x = \frac{k\pi}{2}\).

Решение для второго случая:

2. \(2 \sin(x) - 1 = 0\)

Решение этого уравнения:

\[2 \sin(x) = 1\]

\[\sin(x) = \frac{1}{2}\]

Это имеет место, если \(x = \frac{\pi}{6} + k\pi\), где \(k\) - целое число.

Таким образом, общее решение уравнения \( \sin(2x) + \sin(4x) - \cos(x) = 0 \):

\[x = \frac{k\pi}{2} \quad \text{или} \quad x = \frac{\pi}{6} + k\pi, \quad \text{где} \quad k \in \mathbb{Z}\]

Уравнение 2: \( \sin^2(x) + 3 \sin(x) \cos(x) + 2 \cos^2(x) = 0 \)

Это уравнение может быть решено с использованием тригонометрического тождества \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\). Заметим, что у нас есть \(\sin^2(x) + \cos^2(x)\) в уравнении, и мы можем его заменить.

\[1 + 3 \sin(x) \cos(x) + 2 \cos^2(x) = 0\]

Теперь заменим \(\cos^2(x)\) на \(1 - \sin^2(x)\):

\[1 + 3 \sin(x) \cos(x) + 2 (1 - \sin^2(x)) = 0\]

Раскроем скобки:

\[3 \sin(x) \cos(x) - 2 \sin^2(x) = 0\]

Факторизуем уравнение:

\[\sin(x)(3 \cos(x) - 2 \sin(x)) = 0\]

Это уравнение будет равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

1. \(\sin(x) = 0\) - это выполняется, если \(x = k\pi\), где \(k\) - целое число. 2. \(3 \cos(x) - 2 \sin(x) = 0\) - это уравнение, которое можно решить.

Решение для второго случая:

\[3 \cos(x) - 2 \sin(x) = 0\]

\[3 \cos(x) = 2 \sin(x)\]

\[\tan(x) = \frac{3}{2}\]

Это уравнение имеет решение \(x = \arctan\left(\frac{3}{2}\right) + k\pi\), где \(k\) - целое число.

Таким образом, общее решение уравнения \( \sin^2(x) + 3 \sin(x) \cos(x) + 2 \cos^2(x) = 0 \):

\[x = k\pi \quad \text{или} \quad x = \arctan\left(\frac{3}{2}\right) + k\pi, \quad \text{где} \quad k \in \mathbb{Z}\]