Question

Вычислите интеграл от 0 до 1 (5x^4-8x³)dx; найти площадь фигуры y=x²+1 Спасибо.

Answer 1

Решение задания смотри на фотографии

Answer 2

Для вычисления интеграла от функции (5x^4 - 8x³)dx на интервале от 0 до 1, мы можем использовать правило интегрирования для каждого слагаемого по отдельности. Затем мы применяем эти правила и вычисляем значения интегралов.

Вычисление интеграла

Для первого слагаемого 5x^4, мы можем использовать правило интегрирования для степенной функции: ∫(x^n)dx = (x^(n+1))/(n+1)

Применяя это правило, получаем: ∫(5x^4)dx = (5/5)x^(4+1) = x^5

Для второго слагаемого -8x³, мы также можем использовать правило интегрирования для степенной функции: ∫(x^n)dx = (x^(n+1))/(n+1)

Применяя это правило, получаем: ∫(-8x³)dx = (-8/4)x^(3+1) = -2x^4

Теперь мы можем вычислить интеграл от 0 до 1, объединив результаты для каждого слагаемого: ∫(5x^4 - 8x³)dx = ∫(5x^4)dx - ∫(8x³)dx = x^5 - 2x^4

Вычисление площади фигуры

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиком функции y = x² + 1, мы можем использовать интеграл. Площадь фигуры будет равна интегралу от функции на заданном интервале.

Функция y = x² + 1 является параболой, открытой вверх, с вершиной в точке (0, 1). Чтобы найти площадь фигуры, мы должны вычислить интеграл от функции на интервале, где x изменяется от -∞ до +∞.

Однако, в вашем вопросе указан интервал от 0 до 1. Поэтому мы будем вычислять площадь фигуры только на этом интервале.

Вычислим интеграл от функции y = x² + 1 на интервале от 0 до 1: ∫(x² + 1)dx = (1/3)x³ + x

Теперь мы можем вычислить площадь фигуры, используя полученный интеграл: Площадь = ∫(x² + 1)dx = [(1/3)x³ + x] от 0 до 1

Подставляя значения верхнего и нижнего пределов, получаем: Площадь = [(1/3)(1)³ + 1] - [(1/3)(0)³ + 0] = (1/3 + 1) - 0 = 4/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = x² + 1 на интервале от 0 до 1, равна 4/3.