Question

Tg(x+pi/4)=1 решите уравнение

Answer 1

X + π/4 = arctg1 + πk , k ∈Z
x +π/4 = π/4 + πk , k ∈Z
x = πk , k ∈Z

Answer 2

Для решения уравнения Tg(x + pi/4) = 1, мы сначала должны найти все значения x, которые удовлетворяют данному уравнению.

Нахождение общего решения уравнения

Давайте начнем с использования тригонометрического соотношения, которое гласит:

Tg(a + b) = (Tg(a) + Tg(b))/(1 - Tg(a)*Tg(b))

Мы можем применить это соотношение к уравнению Tg(x + pi/4) = 1:

Tg(x + pi/4) = (Tg(x) + Tg(pi/4))/(1 - Tg(x)*Tg(pi/4))

Так как Tg(pi/4) = 1, уравнение можно переписать в следующей форме:

Tg(x + pi/4) = (Tg(x) + 1)/(1 - Tg(x)*1)

Tg(x + pi/4) = (Tg(x) + 1)/(1 - Tg(x))

Теперь мы можем умножить обе стороны на (1 - Tg(x)), чтобы избавиться от дроби в знаменателе:

(1 - Tg(x))*(Tg(x + pi/4)) = Tg(x) + 1

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

Tg(x + pi/4) - Tg(x)*Tg(x + pi/4) = Tg(x) + 1

Теперь воспользуемся тригонометрической формулой:

Tg(a) - Tg(b) = (Sin(a - b))/(Cos(a)*Cos(b))

Применяя эту формулу к уравнению, получим:

(Sin(x + pi/4 - x))/(Cos(x + pi/4)*Cos(x)) = Tg(x) + 1

Упростим выражение:

Sin(pi/4)/(Cos(x + pi/4)*Cos(x)) = Tg(x) + 1

Так как Sin(pi/4) = Cos(pi/4) = sqrt(2)/2, уравнение можно дальше упростить:

(sqrt(2)/2)/(Cos(x + pi/4)*Cos(x)) = Tg(x) + 1

Теперь домножим обе стороны на 2 и перенесем все слагаемые с Tg(x) на одну сторону:

2*(sqrt(2)/2) = (Tg(x) + 1)*(Cos(x + pi/4)*Cos(x))

sqrt(2) = (Tg(x)*Cos(x + pi/4)*Cos(x)) + (Cos(x + pi/4)*Cos(x))

Так как у нас есть произведение тригонометрических функций, нам понадобится использовать другие тригонометрические тождества, чтобы дальше упростить уравнение.

Использование тригонометрических тождеств

Мы можем использовать следующие тригонометрические тождества:

1. Cos(a)*Cos(b) = (Cos(a + b) + Cos(a - b))/2 2. Tg(a)*Cos(b) = Sin(a)/Cos(b)

Применим эти тождества к уравнению:

sqrt(2) = [(Tg(x)*Cos(x + pi/4)*Cos(x)) + (Cos(x + pi/4)*Cos(x))]/2

Теперь мы можем упростить выражение, заменив Tg(x)*Cos(x + pi/4) на Sin(x):

sqrt(2) = [Sin(x) + (Cos(x + pi/4)*Cos(x))]/2

Умножим обе стороны на 2:

2*sqrt(2) = Sin(x) + (Cos(x + pi/4)*Cos(x))

Теперь мы можем использовать тригонометрическую формулу для Sin(a + b), чтобы упростить уравнение:

2*sqrt(2) = Sin(x) + (Cos(x)*Cos(pi/4) - Sin(x)*Sin(pi/4))*Cos(x)

Так как Cos(pi/4) = Sin(pi/4) = sqrt(2)/2, уравнение можно упростить дальше:

2*sqrt(2) = Sin(x) + (sqrt(2)/2*Cos(x) - sqrt(2)/2*Sin(x))*Cos(x)

2*sqrt(2) = Sin(x) + (sqrt(2)/2*Cos(x) - sqrt(2)/2*Sin(x))*Cos(x)

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:

4*sqrt(2) = 2*Sin(x) + (sqrt(2)*Cos(x) - sqrt(2)*Sin(x))*Cos(x)

Теперь раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

4*sqrt(2) = 2*Sin(x) + sqrt(2)*Cos(x)*Cos(x) - sqrt(2)*Sin(x)*Cos(x)

Так как Sin(x)*Cos(x) = (Sin(2x))/2, уравнение можно упростить дальше:

4*sqrt(2) = 2*Sin(x) + sqrt(2)*Cos(x)*Cos(x) - sqrt(2)*Sin(x)*Cos(x)

4*sqrt(2) = 2*Sin(x) + sqrt(2)*Cos(x)*Cos(x) - (sqrt(2)*Sin(2x))/2

Теперь мы можем умножить обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:

8*sqrt(2) = 4*Sin(x) + 2*sqrt(2)*Cos(x)*Cos(x) - sqrt(2)*Sin(2x)

Теперь давайте использовать тригонометрическую формулу для Sin(2x), чтобы упростить уравнение:

8*sqrt(2) = 4*Sin(x) + 2*sqrt(2)*Cos(x)*Cos(x) - sqrt(2)*2*Sin(x)*Cos(x)

8*sqrt(2) = 4*Sin(x) + 2*sqrt(2)*Cos(x)*Cos(x) - 2*sqrt(2)*Sin(x)*Cos(x)

Теперь мы можем упростить уравнение дальше, домножив обе стороны на 1/sqrt(2):

8 = 4*Sin(x)/sqrt(2) + 2*Cos(x)*Cos(x) - 2*Sin(x)*Cos(x)

Решение уравнения

Теперь мы можем решить уравнение, сводив его к квадратному уравнению. Давайте обозначим Sin(x) = a и Cos(x) = b:

8 = 4*a/sqrt(2) + 2*b*b - 2*a*b

Упростим:

8 = 2*sqrt(2)*a + 2*b*b - 2*a*b

Распишем в квадрате:

8 = 2*sqrt(2)*a + (b - a)^2

Раскроем скобки:

8 = 2*sqrt(2)*a + b^2 - 2*a*b + a^2

Теперь мы можем перенести все слагаемые на одну сторону и упростить уравнение:

a^2 - 2*a*b + b^2 - 2*sqrt(2)*a + 8 = 0

Таким образом, мы получили квадратное уравнение вида:

a^2 - 2*a*b + b^2 - 2*sqrt(2)*a + 8 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение относительно переменной a. Решение зависит от значений b, и его можно найти, используя обычные методы решения квадратных уравнений, такие как дискриминант и формулы.

Надеюсь, это помогло! Если