Question

Cos4x+sin2x-1; если что, это простой пример, он ни к чему не приравненный.

Answer 1

Cos4x + sin2x - 1 = 1 - 2sin^2(2x)  + sin2x - 1 =  - 2sin^2(2x)  + sin2x = 
= sin2x(1 - 2sin2x)

Answer 2

Давайте рассмотрим выражение \( \cos(4x) + \sin(2x) - 1 \) подробно.

1. Используем тригонометрические тождества:

Нам пригодятся следующие тригонометрические тождества: - \( \cos(2a) = 1 - 2\sin^2(a) \) - \( \sin(2a) = 2\sin(a)\cos(a) \)

2. Заменяем углы:

Подставим \(2x\) вместо \(a\) в тождества: - \( \cos(4x) = 1 - 2\sin^2(2x) \) - \( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \)

3. Подставляем полученные выражения в исходное уравнение:

\[ \cos(4x) + \sin(2x) - 1 = (1 - 2\sin^2(2x)) + 2\sin(x)\cos(x) - 1 \]

4. Упрощаем:

Раскроем скобки и упростим выражение: \[ 1 - 2\sin^2(2x) + 2\sin(x)\cos(x) - 1 \] Первое и последнее слагаемые сокращаются: \[ -2\sin^2(2x) + 2\sin(x)\cos(x) \]

5. Дополнительные тождества:

Мы можем использовать дополнительные тригонометрические тождества: - \( \sin(2a) = 2\sin(a)\cos(a) \) - \( \sin^2(a) = 1 - \cos^2(a) \)

6. Подставляем и упрощаем:

\[ -2(1 - \cos^2(2x)) + 2\sin(x)\cos(x) \]

Раскрываем скобки: \[ 2\cos^2(2x) + 2\sin(x)\cos(x) \]

7. Еще раз используем тождества:

- \( \cos(2a) = 1 - 2\sin^2(a) \)

Подставим \(2x\) вместо \(a\): \[ 2(1 - 2\sin^2(x)) + 2\sin(x)\cos(x) \]

8. Снова упрощаем:

\[ 2 - 4\sin^2(x) + 2\sin(x)\cos(x) \]

9. Последний шаг:

Возможно, можно упростить дальше, но это зависит от конкретной задачи или контекста. Если у вас есть дополнительные условия или требования, дайте мне знать, и я постараюсь помочь дальше.