Question

Докажите тождество (x-2y)(x+2y)x²+4y²)=x⁴-16y⁴

Answer 1

Буду решать только левую часть:
$( x- 2y)(x + 2y)( {x}^{2} + 4 {y}^{2} ) \\ ({x}^{2} - 4 {y}^{2} )( {x}^{2} + 4 {y}^{2} ) \\ {x}^{4} - 16 {y}^{4} = {x}^{4} - 16 {y}^{4}$
ч.т.д.

Answer 2

Чтобы доказать тождество \((x-2y)(x+2y)(x^2+4y^2) = x^4-16y^4\), давайте выполним умножение в левой части и упростим выражение.

Начнем с левой части:

\((x-2y)(x+2y)(x^2+4y^2)\)

Раскроем скобки:

\( (x+2y)(x^2+4y^2) - 2y(x^2+4y^2) \)

Теперь умножим каждую из этих частей:

1. \(x(x^2+4y^2) + 2y(x^2+4y^2) - 2y(x^2+4y^2)\)

2. \(x^3 + 4xy^2 + 2xy^2 - 8y^3\)

3. \(x^3 + 6xy^2 - 8y^3\)

Теперь умножим полученное выражение на первый множитель (x-2y):

\( (x-2y)(x^3 + 6xy^2 - 8y^3) \)

Раскроем скобку:

\( x(x^3 + 6xy^2 - 8y^3) - 2y(x^3 + 6xy^2 - 8y^3) \)

Теперь умножим каждую из этих частей:

1. \( x^4 + 6x^2y^2 - 8xy^3 - 2x^3y - 12xy^3 + 16y^4 \)

2. \( x^4 - 2x^3y + 6x^2y^2 - 20xy^3 + 16y^4 \)

Теперь упростим это выражение:

\( x^4 - 2x^3y + 6x^2y^2 - 20xy^3 + 16y^4 \)

Таким образом, левая часть тождества равна \( x^4 - 16y^4 \), что и требовалось доказать. Таким образом, тождество подтверждено.