Question

Задача на оптимизацию Сторона квадрата ABCD равна 8 см. На сторонах AB и BC взяты соответственно точки P и E так, что BP=BE=3 см. На сторонах AD и CD берутся точки, соответственно, K и M так, что четырехугольник KPEM - трапеция. Чему равна наибольшая площадь такой трапеции?

Answer 1

Сторона квадрата АВ = 8 см, ВР = ВЕ = 3 см. Поскольку КРЕМ - трапеция, то КМ параллельно РЕ, поэтому DK = DM = x.
Длина одного основания РЕ = 3*корень(2), длина другого КМ = х*корень 2, меняется от 8*корень 2 до 0.
Диагональ квадрата АС = BD = 8*корень(2).
Точки К и М в одном крайнем положении совпадают с А и С, в другом - обе совпадают с D, тогда трапеция вырождается в треугольник. Два крайних положения показаны на

Длина BN = PN = EN = 3*корень(2)/2. Длина DF = KF = MF = x*корень(2)/2. Длина OB = BD/2 = 4*корень(2)
Высота трапеции FN = BD - BN - DF = 8*корень(2) - 3*корень(2)/2 - x*корень(2)/2.
Площадь трапеции
S = (PE + KM) * FN / 2 = (3*корень(2) + х*корень(2)) * (8*корень(2) - 3*корень(2)/2 - x*корень(2)/2) / 2
S = корень(2) * (3 + x) * корень(2) * (8 - 3/2 - x/2) / 2 = (3 + x)(16 - 3 - x)/2 = (3 + x)(13 - x)/2 -> max
Неожиданно простая функция получилась. Дальше находим производную, и приравниваем к 0.
S ' = [ (13 - x) - (3 + x) ] / 2 = (10 - 2x) / 2 = 5 - x = 0
x = 5

 

Ответ: точки К и М должны быть на расстоянии 5 см от точки D.

Answer 2

Чтобы решить эту задачу на оптимизацию, нам нужно найти наибольшую площадь трапеции KPEM.

Поскольку KPEM - трапеция, то сторона KE параллельна стороне MP. Пусть KE = x см, а MP = y см.

Также, по условию задачи, BP = BE = 3 см. Таким образом, сторона PE равна 8 - 3 - 3 = 2 см.

Для нахождения наибольшей площади трапеции KPEM, мы должны максимизировать площадь этой трапеции. Площадь трапеции вычисляется по формуле:

Площадь = (сумма оснований) * (высота) / 2

В нашем случае, основания KPE и EM равны KE и MP соответственно, а высота равна PE.

Таким образом, площадь трапеции KPEM вычисляется по формуле:

Площадь = (KE + MP) * PE / 2

Подставляя значения, получаем:

Площадь = (x + y) * 2 / 2 = x + y

Однако у нас есть ограничение: ABCD - квадрат со стороной 8 см. Это означает, что сумма сторон KE и MP не может превышать 8 см. Формально, это ограничение можно записать как:

x + y ≤ 8

Таким образом, наша задача сводится к максимизации функции площади, при условии ограничения.

Решение этой задачи на оптимизацию может быть достигнуто путем нахождения максимального значения функции площади при заданном ограничении.

Для этого мы можем использовать метод Лагранжа или геометрический подход.

При использовании метода Лагранжа, мы можем составить функцию Лагранжа:

L(x, y, λ) = x + y + λ(8 - x - y)

Где λ - множитель Лагранжа, связывающий функцию площади и ограничение.

Далее, мы находим частные производные функции Лагранжа по переменным x, y и λ, и приравниваем их к нулю:

∂L/∂x = 1 - λ = 0 ∂L/∂y = 1 - λ = 0 ∂L/∂λ = 8 - x - y = 0

Решая эти уравнения, мы найдем значения x, y и λ:

1 - λ = 0 8 - x - y = 0

Отсюда следует, что λ = 1, а x + y = 8.

Таким образом, наибольшая площадь трапеции KPEM равна 8 см² при x = 4 см и y = 4 см.