Question

Продифференцировать данные функции y=sin(2^x)

Answer 1

y`=cos(2^x)*2^xln2=2^x*cos(2^x)lnx

Answer 2

Давайте продифференцируем функцию \(y = \sin(2^x)\) по переменной \(x\).

Используем цепное правило (chain rule), которое утверждает, что производная композиции двух функций равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции.

Пусть \(u = 2^x\), тогда \(y = \sin(u)\). Теперь давайте найдем производные:

1. Найдем производную \(u\) по \(x\):

\[ \frac{du}{dx} = \frac{d(2^x)}{dx} = \ln(2) \cdot 2^x \]

2. Найдем производную \(\sin(u)\) по \(u\):

\[ \frac{d(\sin(u))}{du} = \cos(u) \]

Теперь применим цепное правило:

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \]

\[ \frac{dy}{dx} = \cos(u) \cdot \ln(2) \cdot 2^x \]

Теперь подставим обратно выражение для \(u\):

\[ \frac{dy}{dx} = \cos(2^x) \cdot \ln(2) \cdot 2^x \]

Таким образом, производная функции \(y = \sin(2^x)\) по переменной \(x\) равна \(\cos(2^x) \cdot \ln(2) \cdot 2^x\).