Question

Решите уравнение cos 2x = cos 4x и найдите все его корни , принадлежащие промежутку [0;пи]

Answer 1

Cos2x=cos4x
cos4x-cos2x=0
cos2x=0
2x=пи/2+пи*к
x=пи/4+(пи*к)/2
k=0; x=пи/4
k=1; x=пи/4 + пи/2= пи/4 + 2пи/4 = 3пи/4
Ответ: x=пи/4; x=3пи/4

Answer 2

Для решения уравнения cos(2x) = cos(4x) в промежутке [0, π], мы должны использовать свойства тригонометрии и алгебры. Давайте начнем с преобразования уравнения, чтобы упростить его.

Преобразование уравнения

Косинусы имеют период 2π, поэтому мы можем заменить углы x и 2x на эквивалентные углы, которые лежат в промежутке [0, 2π]. Таким образом, уравнение принимает следующий вид:

cos(2x) = cos(4x) => cos(2x) - cos(4x) = 0

Использование формулы косинуса разности

Мы можем использовать формулу косинуса разности для упрощения уравнения:

cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)

Применяя эту формулу к уравнению, получаем:

cos(2x) - cos(4x) = 0 => cos(2x - 4x) = 0

cos(-2x) = 0

Решение уравнения

Теперь мы можем решить уравнение cos(-2x) = 0. Для этого нам нужно найти все значения x, для которых cos(-2x) равно нулю.

Косинус равен нулю, когда аргумент косинуса является кратным π/2. Таким образом, мы можем записать:

-2x = (2n + 1) * (π/2)

где n - целое число.

Решая это уравнение относительно x, получаем:

x = -((2n + 1) * (π/4))

Корни, принадлежащие промежутку [0, π]

Чтобы найти корни, которые принадлежат промежутку [0, π], мы должны рассмотреть значения x, которые лежат в этом интервале.

Для данного уравнения, мы видим, что значения x будут лежать в интервале [0, π/4]. Это связано с тем, что значения -((2n + 1) * (π/4)) будут меньше нуля и не входить в заданный промежуток.

Таким образом, все корни уравнения cos(2x) = cos(4x), принадлежащие промежутку [0, π], можно найти с помощью формулы:

x = -((2n + 1) * (π/4)), где n - целое число, и x лежит в интервале [0, π/4].

Надеюсь, эта информация полезна для вас! Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, дайте мне знать.