Question

Существует ли такая формула: a^(logb(c))=c^(logb(a)) ? (^-степень) Если есть, то где мне ее в интернете найти, ссылку можно?

Answer 1

Есть такая формула.

                $a^{log_{b}c}=c^{log_{b}a}\\\\A=c^{log_{c}{A}}\; \; \to \; \; \;a^{lo g_{b}c}=c^{log_{c}{(a^{log_{b}{c}})}}=[\; log_{c}x^{k}=k\cdot log_{c}x\, ]=\\\\=c^{log_{b}c\cdot log_{c}a}=c^{\frac{log_{c}a}{log_{c}b}}=[\, log_{b}a=\frac{log_{c}a}{log_{c}b}\, ]=c^{ log_{b}a}$

Answer 2

Давайте разберемся с данной формулой:

\[a^{\log_b(c)} = c^{\log_b(a)}\]

Для упрощения обозначений, давайте введем новую переменную, например, \(x = \log_b(c)\). Тогда формула примет вид:

\[a^x = c^{\log_b(a)}\]

Теперь мы можем использовать свойство логарифмов \(\log_b(a) = \frac{1}{\log_a(b)}\), чтобы переписать правую часть уравнения:

\[a^x = c^{\frac{1}{\log_a(b)}}\]

Теперь, чтобы доказать равенство, давайте возведем обе стороны в степень \(\log_a(b)\):

\[(a^x)^{\log_a(b)} = (c^{\frac{1}{\log_a(b)}})^{\log_a(b)}\]

На левой стороне мы получаем \(a^{x\log_a(b)}\), что равно \(a^{\log_b(c)}\) с учетом введенной переменной. На правой стороне \(\log_a(b)\) в знаменателе и в числителе сокращаются, и мы получаем \(c^1\), что равно \(c\).

Таким образом, уравнение \(a^{\log_b(c)} = c^{\log_b(a)}\) справедливо.

Что касается поиска подтверждения в интернете, вы можете использовать поисковые системы, такие как Google, и искать термин "equality of logarithmic and exponential expressions" или подобные. Также стоит обратить внимание на математические ресурсы, такие как математические форумы, статьи или учебники.