Question

(x-2)^4+(x-2)^2-2=0 .Решите уравнение

Answer 1

(x-2)⁴+(x-2)²-2=0
Замена:
(х-2)² = t;  t>0
t²+t-2=0
D=1²-4*1*(-2)=1+8=9=3²
t₁=(-1-3)/2=-2  -∅
t₂=(-1+3)/2=1
Обратная замена:
(x-2)²=1
x-2=1     или    х-2=-1
х=1+2              х=-1+2
х=3                  х=1

Ответ: х=1; х=3

Answer 2

Конечно, давайте решим уравнение:

\((x-2)^4 + (x-2)^2 - 2 = 0\).

Для удобства введем замену переменной. Положим \(y = (x-2)^2\). Тогда уравнение примет вид:

\(y^2 + y - 2 = 0\).

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем воспользоваться формулой для решения квадратного уравнения:

\[y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.\]

В данном случае \(a = 1\), \(b = 1\), и \(c = -2\). Подставим значения:

\[y = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}.\]

Сначала рассмотрим положительный знак:

\[y_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 + 3}{2} = 1.\]

Теперь рассмотрим отрицательный знак:

\[y_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 - 3}{2} = -2.\]

Теперь вернемся к исходной переменной \(x\), используя замену \(y = (x-2)^2\):

1. Для \(y = 1\): \[(x-2)^2 = 1.\] Это уравнение имеет два решения: \(x-2 = 1\) и \(x-2 = -1\). Решая их, получим \(x = 3\) и \(x = 1\).

2. Для \(y = -2\): \[(x-2)^2 = -2.\] Здесь нет реальных решений, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

Итак, уравнение \((x-2)^4 + (x-2)^2 - 2 = 0\) имеет два решения: \(x = 1\) и \(x = 3\).