Question

Решите уравнение с объяснением: ||x^2+6x+5|-1|=3

Answer 1

$||x^2+6x+5|-1|=3$


Рассмотрим два случая:  
1. $||x^2+6x+5|-1|=3$
$||x^2+6x+5|=3+1$
$||x^2+6x+5|=4$
Опять два случая: 
а) $||x^2+6x+5|=4$
б) $||x^2+6x+5|=-4$

а) $x^2+6x+5=4$
$x^2+6x+5-4=0$
$x^2+6x+1=0$
$d=6^2-4=32$
$x_{1} = -3-2 \sqrt{2}$
$x_{2} = -3+2 \sqrt{2}$
б) $x^2+6x+5=-4$
$x^2+6x+5+4=0$
$x^2+6x+9=0$
$(x+3)^2=0$
$x+3=0$
$x=-3$

2. $||x^2+6x+5|-1|=-3$
$||x^2+6x+5|=-3+1$
$||x^2+6x+5|=-2$ 
Такого не может быть. 

Следовательно ответ: -3-2√2; -3; -3+2√2

Answer 2

Давайте решим это уравнение шаг за шагом. У нас есть уравнение |x^2 + 6x + 5| - 1 = 3.

1. Начнем с рассмотрения выражения внутри модуля: x^2 + 6x + 5. Мы можем решить это квадратное уравнение, используя методы решения квадратных уравнений, например, метод дискриминанта или завершение квадрата. Но в данном случае сначала мы рассмотрим два случая, когда выражение внутри модуля положительно и отрицательно.

2. Пусть x^2 + 6x + 5 > 0. Чтобы решить это неравенство, мы можем использовать метод интервалов. Для этого найдем корни квадратного уравнения x^2 + 6x + 5 = 0. Решая это уравнение, мы получаем два корня: x = -1 и x = -5. Теперь мы можем построить интервалы и определить, в каком интервале выражение x^2 + 6x + 5 > 0.

- Если x < -5 или x > -1, то x^2 + 6x + 5 > 0. - Если -5 < x < -1, то x^2 + 6x + 5 < 0.

Так как наше уравнение требует, чтобы модуль выражения был равен 3, то нам нужно рассмотреть два случая: |x^2 + 6x + 5| - 1 = 3 и |x^2 + 6x + 5| - 1 = -3.

3. Первый случай: |x^2 + 6x + 5| - 1 = 3.

Если x < -5 или x > -1, то x^2 + 6x + 5 > 0. В этом случае модуль не влияет на выражение, и мы можем записать уравнение как x^2 + 6x + 5 - 1 = 3. Решая это уравнение, мы получаем x^2 + 6x + 4 = 0. Решая это квадратное уравнение, мы получаем два корня: x = -2 и x = -2.

Если -5 < x < -1, то x^2 + 6x + 5 < 0. В этом случае модуль изменяет знак выражения, и мы можем записать уравнение как -(x^2 + 6x + 5) - 1 = 3. Решая это уравнение, мы получаем -x^2 - 6x - 4 = 0. Решая это квадратное уравнение, мы получаем два корня: x = -2 - √2 и x = -2 + √2.

Таким образом, в первом случае у нас есть три решения: x = -2, x = -2 - √2 и x = -2 + √2.

4. Второй случай: |x^2 + 6x + 5| - 1 = -3.

Если x < -5 или x > -1, то x^2 + 6x + 5 > 0. В этом случае модуль не влияет на выражение, и мы можем записать уравнение как x^2 + 6x + 5 - 1 = -3. Решая это уравнение, мы получаем x^2 + 6x + 2 = 0. Решая это квадратное уравнение, мы получаем два корня: x = -3 - √2 и x = -3 + √2.

Если -5 < x < -1, то x^2 + 6x + 5 < 0. В этом случае модуль изменяет знак выражения, и мы можем записать уравнение как -(x^2 + 6x + 5) - 1 = -3. Решая это уравнение, мы получаем -x^2 - 6x - 3 = 0. Решая это квадратное уравнение, мы получаем два корня: x = -3 и x = -1.

Таким образом, во втором случае у нас есть четыре решения: x = -3, x = -3 - √2, x = -3 + √2 и x = -1.

5. В результате у нас есть семь решений: x = -2, x = -2 - √2, x = -2 + √2, x = -3, x = -3 - √2, x = -3 + √2 и x = -1.

Это подробное решение уравнения |x^2 + 6x + 5| - 1 = 3. Если у вас возникли дополнительные вопросы, пожалуйста, дайте мне знать!