Question

Корень из 2 * sin2x+ корень из2 * cos2x= корень из 3

Answer 1

Основная задача всегда --разложить выражение на множители...
первая формула: синус суммы
вторая формула: разность синусов

Answer 2

√2(sin2x+cos 2x)=√3
√2(√2sin (π/4+2x)=√3
sin (π/4+2x)=√3/2
π/4+2x=2π/3+2πk                 π/4+2x=π/3+2πk
2x=5π/12+2πk                       2x=π/12+2πk
x=5π/24+πk, k∈Z                   x=π/24+πk, k∈Z

Answer 3

Давайте разберём уравнение по частям:

\[ \sqrt{2} \cdot \sin(2x) + \sqrt{2} \cdot \cos(2x) = \sqrt{3} \]

Мы можем разделить обе стороны уравнения на \(\sqrt{2}\), чтобы упростить его:

\[ \sin(2x) + \cos(2x) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \]

Теперь давайте вспомним формулу сложения для синуса:

\[ \sin(A + B) = \sin(A) \cdot \cos(B) + \cos(A) \cdot \sin(B) \]

Мы можем представить \(\sin(2x) + \cos(2x)\) как \(\sin(x + x) + \cos(x + x)\). Таким образом, у нас есть:

\[ \sin(2x) + \cos(2x) = \sin(x + x) + \cos(x + x) \]

Теперь сравним это с нашим уравнением:

\[ \sin(x + x) + \cos(x + x) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \]

Теперь мы видим, что у нас есть угол вида \(x + x\), что равно \(2x\). Таким образом, у нас есть:

\[ \sin(2x) + \cos(2x) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \]

Или, если записать через тригонометрические тождества:

\[ \sqrt{2} \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sin(2x) + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \cos(2x)\right) = \sqrt{3} \]

Теперь можем заметить, что выражение в скобках это \(\sin\left(2x + \frac{\pi}{4}\right)\). Таким образом, у нас есть:

\[ \sqrt{2} \cdot \sin\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{3} \]

Теперь делим обе стороны на \(\sqrt{2}\):

\[ \sin\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \]

И теперь извлекаем арксинус от обеих сторон:

\[ 2x + \frac{\pi}{4} = \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right) \]

Теперь решим уравнение относительно \(x\):

\[ x = \frac{\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right) - \frac{\pi}{4}}{2} \]

Это и будет решением вашего уравнения.