Question

Найти все значения a при которых система неравенств имеет единственное решение. ((x-2)^2+(y-3)^2)*((x-8)^2+(y-2)^2) <= 0 ((x - 2a)^2+(y-a)^2) <= 4a^2

Answer 1

Первое неравенство выполняется тогда и только тогда, когда 
$x-2=0;~~y-3=0$ откуда $x=2;~y=3$ и также $x-8=0;~ y-2=0$  откуда  $x=8;~ y=2$

Подставим х=2 и у=3 во второе неравенство.

$(2-2a)^2+(3-a)^2 \leq 4a^2\\ \\ 4-8a+4a^2+9-6a+a^2 \leq 4a^2\\ \\ a^2-14a+13\leq 0\\ \\ (a-13)(a-1)\leq 0$

Отсюда $a \in [1;13].$

Подставим теперь х=8 и у=2, получим

$(8-a)^2+(2-a)^2\leq 4a^2\\ \\ 64-32a+4a^2+4-4a+a^2\leq 4a^2\\ \\ a^2-36a+324-256\leq 0\\ \\ (a-18)^2\leq 256\\ \\ -16\leq a-18\leq 16\\ \\ 2\leq a\leq 34$


Система имеет единственное решение, если выполняется один из двух решений первого неравенства. То есть, при $a \in [1;2)\cup\{34\}.$

Answer 2

Для того чтобы найти все значения "a", при которых система неравенств имеет единственное решение, нам необходимо решить данную систему неравенств и выяснить, при каких значениях "a" она имеет только одно решение.

Система неравенств имеет вид: ((x-2)^2+(y-3)^2)*((x-8)^2+(y-2)^2) <= 0 ((x - 2a)^2 + (y - a)^2) <= 4a^2

Давайте решим систему шаг за шагом.

Шаг 1: Рассмотрим первое неравенство: ((x-2)^2+(y-3)^2)*((x-8)^2+(y-2)^2) <= 0

Это неравенство представляет собой произведение двух выражений, и чтобы произведение было меньше или равно нулю, один из множителей должен быть меньше или равен нулю. Так как квадраты неотрицательны, это возможно только в том случае, если оба множителя равны нулю.

Таким образом, у нас есть два случая: 1. (x-2)^2 + (y-3)^2 = 0 2. (x-8)^2 + (y-2)^2 = 0

Шаг 2: Решим первое уравнение: (x-2)^2 + (y-3)^2 = 0

Это уравнение представляет собой квадрат суммы двух выражений, поэтому каждое слагаемое должно быть равно нулю. (x-2)^2 = 0 => x-2 = 0 => x = 2 (y-3)^2 = 0 => y-3 = 0 => y = 3

Таким образом, первое уравнение имеет единственное решение (x, y) = (2, 3).

Шаг 3: Решим второе уравнение: (x-8)^2 + (y-2)^2 = 0

Аналогично, это уравнение представляет собой квадрат суммы двух выражений, поэтому каждое слагаемое должно быть равно нулю. (x-8)^2 = 0 => x-8 = 0 => x = 8 (y-2)^2 = 0 => y-2 = 0 => y = 2

Таким образом, второе уравнение имеет единственное решение (x, y) = (8, 2).

Шаг 4: Рассмотрим второе неравенство: ((x - 2a)^2 + (y - a)^2) <= 4a^2

Это неравенство представляет собой квадрат суммы двух выражений, и чтобы оно было выполнено, каждое слагаемое должно быть меньше или равно 4a^2.

Таким образом, у нас есть следующие условия: (x - 2a)^2 <= 4a^2 (y - a)^2 <= 4a^2

Шаг 5: Решим первое уравнение: (x - 2a)^2 <= 4a^2

Извлечем квадратный корень из обеих частей: |x - 2a| <= 2a

Теперь рассмотрим два случая: 1. x - 2a <= 2a => x <= 4a 2. -(x - 2a) <= 2a => x >= 0

Таким образом, условие для x: 0 <= x <= 4a.

Шаг 6: Решим второе уравнение: (y - a)^2 <= 4a^2

Извлечем квадратный корень из обеих частей: |y - a| <= 2a

Теперь рассмотрим два случая: 1. y - a <= 2a => y <= 3a 2. -(y - a) <= 2a => y >= -a

Таким образом, условие для y: -a <= y <= 3a.

Шаг 7: Объединим условия для x и y: 0 <= x <= 4a -a <= y <= 3a

Чтобы система имела единственное решение, интервалы для x и y должны пересекаться только в одной точке.

Из условия для x: 0 <= x <= 4a, видно, что интервал пересекается только в одной точке, когда x = 4a.

Из условия для y: -a <= y <= 3a, видно, что интервал пересекается только в одной точке, когда y = 3a.

Таким образом, система неравенств имеет единственное решение при значениях "a", когда x = 4a и y = 3a.

Надеюсь, это объяснение было полезным и понятным! Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.