Question

Решите уравнение: cosx + cos2x + cos3x = 0на отрезке .(o;2пи)

Answer 1

1. cosx + cos2x + cos3x = 0

cos2x + (cosx + cos3x) = 0

cos2x + 2 cos (3x + x / 2) cos (3x - x / 2) = 0

cos2x + 2 cos2xcosx = 0

cos2x (1 + 2cosx) = 0

cos2x = 0 или 1 + 2cosx = 0

 

1) cos2x = 0

cos2x = cosπ/2 + πn

2x = π/2 + πn

x = π/4 + πn/2; n принадлежит Z.

 

2) 1 + 2 cosx = 0

cos x = -1/2

x1 = 2π/3 + 2πn;

x2 = -2π/3 + 2πn;

n принадлежит Z.

 

2. на отр-ке (0;2π): 

1) π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4

2) 2π/3, 4π/3

 

Answer 2

Давайте решим уравнение \(\cos(x) + \cos(2x) + \cos(3x) = 0\) на отрезке \((0, 2\pi)\).

Для начала, давайте воспользуемся формулой сложения для косинуса: \[\cos(A+B) = \cos(A)\cos(B) - \sin(A)\sin(B).\]

Применим эту формулу для \(\cos(2x)\) и \(\cos(3x)\): \[\cos(2x) = \cos(x+x) = \cos^2(x) - \sin^2(x),\] \[\cos(3x) = \cos(2x+x) = (\cos^2(2x) - \sin^2(2x))\cos(x) - 2\sin(2x)\cos(2x).\]

Теперь подставим эти выражения обратно в уравнение: \[\cos(x) + (\cos^2(x) - \sin^2(x)) + \left((\cos^2(2x) - \sin^2(2x))\cos(x) - 2\sin(2x)\cos(2x)\right) = 0.\]

Упростим уравнение: \[\cos^2(x) - \sin^2(x) + \cos(x)(\cos^2(2x) - \sin^2(2x)) - 2\sin(2x)\cos(2x) + \cos(x) + \sin^2(x) = 0.\]

Теперь сгруппируем по типу членов: \[\cos^2(x) + \cos(x) - \sin^2(x) + \cos(x)(\cos^2(2x) - \sin^2(2x)) - 2\sin(2x)\cos(2x) = 0.\]

Теперь упростим дальше: \[\cos^2(x) + \cos(x) - \sin^2(x) + \cos(x)\cos^2(2x) - \cos(x)\sin^2(2x) - 2\sin(2x)\cos(2x) = 0.\]

Сгруппируем по типу членов снова: \[\cos^2(x) + \cos(x) + \cos(x)\cos^2(2x) - \sin^2(x) - \cos(x)\sin^2(2x) - 2\sin(2x)\cos(2x) = 0.\]

Теперь вынесем общий множитель за скобки: \[\cos^2(x)(1 + \cos(2x)) - \sin^2(x)(1 + \cos(2x)) - 2\sin(2x)\cos(2x) + \cos(x) = 0.\]

Теперь факторизуем: \[(\cos^2(x) - \sin^2(x))(1 + \cos(2x)) - 2\sin(2x)\cos(2x) + \cos(x) = 0.\]

Используем тригонометрическую тождественность \(\cos^2(x) - \sin^2(x) = \cos(2x)\): \[\cos(2x)(1 + \cos(2x)) - 2\sin(2x)\cos(2x) + \cos(x) = 0.\]

Теперь подставим \(u = \cos(2x)\): \[u(1 + u) - 2\sin(2x)u + \cos(x) = 0.\]

Упростим: \[u + u^2 - 2\sin(2x)u + \cos(x) = 0.\]

Теперь подставим обратно \(u = \cos(2x)\): \[\cos(2x) + \cos^2(2x) - 2\sin(2x)\cos(2x) + \cos(x) = 0.\]

Факторизуем: \[\cos(2x)(1 - \cos(2x)) - \cos(x)(2\sin(2x) - 1) = 0.\]

Теперь мы имеем два уравнения: \[ \cos(2x) = 0 \quad \text{и} \quad 2\sin(2x) - 1 = 0.\]

1. Для \(\cos(2x) = 0\), решениями являются \(2x = \frac{\pi}{2} + k\pi\), где \(k\) - целое число. Тогда \(x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}\).

2. Для \(2\sin(2x) - 1 = 0\), решениями являются \(\sin(2x) = \frac{1}{2}\), что соответствует углам \(\frac{\pi}{6} + k\pi\) и \(\frac{5\pi}{6} + k\pi\), где \(k\) - целое число. Тогда \(2x = \frac{\pi}{6} + k\pi\) и \(2x = \frac{5\pi}{6} + k\pi\), откуда получаем \(x = \frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{2}\) и \(x = \frac{5\pi}{12} + \frac{k\pi}{2}\).

Таким образом, решения уравнения \(\cos(x) + \cos(2x) + \cos(3x) = 0\) на отрезке \((0, 2\pi)\) это: \[x = \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{12}, \frac{3\pi}{4}, \frac{13\pi}{12}, \frac{5\pi}{4}, \frac{17\pi}{12}.\]