Question

Упростить выражения: a)sin^2a-1+cos^2a+(1-sina)(1+sina) б)2sin^2(-a)-1/1-2cos^2a в)cos^2-1/3-3sin^2a г)(4/sin^2a) от этой дроби -4 ctg^2a

Answer 1

1)(sin²a+cos²a)-1+(1-sin²a)=1-1+cos²a=cos²a
2)(2sin²(-a)-1)/(1-2cos²a)=(2sin²a-1)/(1-2cos²a)=-cos2a/(-cos2a)=1
3)(cos²a-1)/3(1-sin²a)=-sin²a/3cos²a=-1/3*tg²a
4)4/sin²a - 4cos²a/sin²a=(4-4cos²a)/sin²a=4(1-cos²a)/sin²a=4sin²a/sin²a=4

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое из упрощаемых выражений:

а) \( \sin^2a - 1 + \cos^2a + (1 - \sin a)(1 + \sin a) \)

Раскроем скобки:

\[ \sin^2a - 1 + \cos^2a + (1 - \sin^2a) \]

Теперь сложим и упростим:

\[ \sin^2a + \cos^2a - 1 + 1 - \sin^2a \]

Сокращаемся:

\[ \sin^2a + \cos^2a - \sin^2a \]

\[ \cos^2a \]

б) \( \frac{2\sin^2(-a) - 1}{1 - 2\cos^2a} \)

Обратите внимание, что \(\sin(-a) = -\sin a\):

\[ \frac{2\sin^2a - 1}{1 - 2\cos^2a} \]

Теперь упростим числитель и знаменатель:

\[ \frac{2(1 - \cos^2a) - 1}{1 - 2\cos^2a} \]

Раскрываем скобки:

\[ \frac{2 - 2\cos^2a - 1}{1 - 2\cos^2a} \]

Сокращаем числитель:

\[ \frac{1 - 2\cos^2a}{1 - 2\cos^2a} \]

\[ 1 \]

в) \( \frac{\cos^2 - 1}{3 - 3\sin^2a} \)

Факторизуем числитель:

\[ \frac{(\cos - 1)(\cos + 1)}{3(1 - \sin^2a)} \]

Замечаем, что \(\cos^2a + \sin^2a = 1\), поэтому \(1 - \sin^2a = \cos^2a\):

\[ \frac{(\cos - 1)(\cos + 1)}{3\cos^2a} \]

Сокращаем:

\[ \frac{(\cos - 1)(\cos + 1)}{3\cos^2a} \cdot \frac{1}{\cos} \]

\[ \frac{\cos + 1}{3\cos} \]

г) \( \frac{4}{\sin^2a} - 4\cot^2a \)

Заметим, что \(\cot a = \frac{1}{\tan a} = \frac{\cos a}{\sin a}\):

\[ \frac{4}{\sin^2a} - 4\left(\frac{\cos a}{\sin a}\right)^2 \]

Упростим:

\[ \frac{4}{\sin^2a} - 4\cdot\frac{\cos^2a}{\sin^2a} \]

Общий знаменатель:

\[ \frac{4 - 4\cos^2a}{\sin^2a} \]

Факторизуем числитель:

\[ \frac{4(1 - \cos^2a)}{\sin^2a} \]

Замечаем, что \(1 - \cos^2a = \sin^2a\):

\[ \frac{4\sin^2a}{\sin^2a} \]

\[ 4 \]

Таким образом, упрощенные формы выражений:

а) \( \cos^2a \)

б) 1

в) \( \frac{\cos + 1}{3\cos} \)

г) 4