Question

Комплексные числа z^4=-1 1) решите найдите и запишите все корни в алгебраической форме 2) изобразите их на комплексной плоскости

Answer 1

$z= \sqrt[4]{-1}$

Рассмотрим $a=-1+0i$. Модуль комплексного числа: $|a|= \sqrt{(-1)^2+0^2}=1$, тогда

$a=-1+0i=\cos \pi +i\sin \pi$

И согласно формуле Муавра:

$\sqrt[4]{-1}=\cos \frac{\pi+2 \pi k}{4} +i\sin \frac{\pi+2 \pi k}{4}$, где k=0,...,3

$z_1= \cos \frac{\pi}{4} +i\sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{ \sqrt{2} } +i\cdot \frac{1}{ \sqrt{2} } \\ \\ z_2=\cos\frac{3\pi}{4} +i\sin\frac{3\pi}{4} =-\frac{1}{ \sqrt{2} } +i\cdot \frac{1}{ \sqrt{2} }\\ \\ z_3=\cos\frac{5\pi}{4} +i\sin\frac{5\pi}{4} =-\frac{1}{ \sqrt{2} } -i\cdot \frac{1}{ \sqrt{2} }\\ \\ z_4=\cos\frac{7\pi}{4} +i\sin\frac{7\pi}{4} =\frac{1}{ \sqrt{2} } -i\cdot \frac{1}{ \sqrt{2} }$

2) Смотрим на фото

Answer 2

Уравнение \(z^4 = -1\) можно решить, представив -1 в тригонометрической форме и используя свойства комплексных чисел.

1. Представление -1 в тригонометрической форме: \(-1 = e^{i(\pi + 2\pi k)}\), где \(k\) - целое число.

2. Решение уравнения \(z^4 = -1\): \[z^4 = e^{i(\pi + 2\pi k)}\] Чтобы найти корни, возьмем четвертый корень из обеих сторон: \[z = \sqrt[4]{e^{i(\pi + 2\pi k)}}\]

3. Выражение в тригонометрической форме: \[z = \sqrt[4]{e^{i(\pi + 2\pi k)}} = e^{i\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}\right)}\] Здесь \(k = 0, 1, 2, 3\), так как четвертый корень означает, что у нас есть четыре корня.

4. Запись корней: - При \(k = 0: \quad z_1 = e^{i\frac{\pi}{4}}\) - При \(k = 1: \quad z_2 = e^{i\frac{3\pi}{4}}\) - При \(k = 2: \quad z_3 = e^{i\frac{5\pi}{4}}\) - При \(k = 3: \quad z_4 = e^{i\frac{7\pi}{4}}\)

5. Изображение на комплексной плоскости: Комплексные числа \(z_1, z_2, z_3, z_4\) можно представить на комплексной плоскости, используя их угловые координаты.

- \(z_1\) лежит на угле \(\frac{\pi}{4}\), - \(z_2\) лежит на угле \(\frac{3\pi}{4}\), - \(z_3\) лежит на угле \(\frac{5\pi}{4}\), - \(z_4\) лежит на угле \(\frac{7\pi}{4}\).

Все эти точки будут лежать на окружности радиуса 1 в комплексной плоскости и равномерно распределены по четырем квадрантам.