Question

Sin2x-cos4x=0 найти чему равен x

Answer 1

Ответ ответ ответ ответ ответ ответ ответ

Answer 2

Sin2x-1+2sin²x=0
sin2x=a
2a²+a-1=0
D=1+8=9
a1=(-1-3)/4=-1⇒sin2x=-1⇒2x=-π/2+2πn⇒x=-π/4+πn,n∈z
a2=(-1+3)/4=1/2⇒sin2x=1/2⇒2x=(-1)^n*π/6+πn⇒x=(-1)^n*π/12+πn/2,n∈z

Answer 3

Давайте решим уравнение sin(2x) - cos(4x) = 0.

1. Преобразование уравнения: \[ \sin(2x) - \cos(4x) = 0 \]

2. Используем тригонометрические тождества: \[ \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \] \[ \cos(4x) = \cos^2(2x) - \sin^2(2x) = \cos^2(2x) - (2\sin(x)\cos(x))^2 \]

Подставим это в уравнение: \[ 2\sin(x)\cos(x) - (\cos^2(2x) - 4\sin^2(x)\cos^2(x)) = 0 \]

Упростим выражение: \[ 2\sin(x)\cos(x) - \cos^2(2x) + 4\sin^2(x)\cos^2(x) = 0 \]

3. Замена переменных: Пусть \( u = \sin(x) \), тогда \( \cos(x) = \sqrt{1-u^2} \).

Подставим в уравнение: \[ 2u\sqrt{1-u^2} - \cos^2(2x) + 4u^2(1-u^2) = 0 \]

4. Используем тождество \(\cos^2(2x) = 1 - 2\sin^2(2x)\): \[ 2u\sqrt{1-u^2} - (1 - 2\sin^2(2x)) + 4u^2(1-u^2) = 0 \]

Упростим: \[ 2u\sqrt{1-u^2} + 2\sin^2(2x) + 4u^2(1-u^2) - 1 = 0 \]

5. Используем тригонометрические тождества: \[ \sin^2(2x) = \frac{1-\cos(4x)}{2} \] Подставим это: \[ 2u\sqrt{1-u^2} + 2\left(\frac{1-\cos(4x)}{2}\right) + 4u^2(1-u^2) - 1 = 0 \]

6. Упростим выражение: \[ 2u\sqrt{1-u^2} + 1 - \cos(4x) + 4u^2(1-u^2) - 1 = 0 \]

Уберем лишние единицы: \[ 2u\sqrt{1-u^2} - \cos(4x) + 4u^2(1-u^2) = 0 \]

7. Подставим обратно \( u = \sin(x) \): \[ 2\sin(x)\sqrt{1-\sin^2(x)} - \cos(4x) + 4\sin^2(x)(1-\sin^2(x)) = 0 \]

Упростим: \[ 2\sin(x)\cos(x) - \cos(4x) + 4\sin^2(x) - 4\sin^4(x) = 0 \]

8. Выразим \(\cos(4x)\) через \(\cos(2x)\): \[ \cos(4x) = 2\cos^2(2x) - 1 \] Подставим это: \[ 2\sin(x)\cos(x) - (2\cos^2(2x) - 1) + 4\sin^2(x) - 4\sin^4(x) = 0 \]

9. Упростим: \[ 2\sin(x)\cos(x) - 2\cos^2(2x) + 4\sin^2(x) - 4\sin^4(x) + 1 = 0 \]

Теперь у нас есть уравнение с квадратом \(\sin(x)\) и \(\cos(x)\).

10. Воспользуемся тождеством \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\): \[ \cos^2(2x) = \frac{1+\cos(4x)}{2} \]

Подставим: \[ 2\sin(x)\cos(x) - (1+\cos(4x)) + 4\sin^2(x) - 4\sin^4(x) + 1 = 0 \]

11. Упростим: \[ 2\sin(x)\cos(x) - 1 - \cos(4x) + 4\sin^2(x) - 4\sin^4(x) + 1 = 0 \]

12. Отбросим единицы: \[ 2\sin(x)\cos(x) - \cos(4x) + 4\sin^2(x) - 4\sin^4(x) = 0 \]

13. Используем тождество \(\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\): \[ \sin(2x) - \cos(4x) + 4\sin^2(x) - 4\sin^4(x) = 0 \]

14. Приведем подобные: \[ \sin(2x) - \cos(4x) + 4\sin^2(x) - 4\sin^4(x) = 0 \] \[ \sin(2x) - \cos(4x) + 4\sin^2(x) - 4\sin^2(x)^2 = 0 \]

15. Замена \(\sin^2(x) = t\): \[ \sin(2x) - \cos(4x) + 4t - 4t^2 = 0 \]

16. Решение уравнения: Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \(t\): \[ -4t^2 + 4t + \sin(2x) - \cos(4x) = 0 \]