Question

4cos^2(x)+sin(x)-1=0

Answer 1

4cos²x+sinx-1=0
4-4sin²x+sinx-1=0
4sin²x-sinx-3=0
sinx=1, sinx=-$\frac{3}{4}$
x=$\frac{ \pi }{2}$+2πn, n∈Z или x=$(-1)^{n+1}$arcsin$\frac{3}{4}$+πm, m∈Z

Answer 2

Первым шагом в решении данного уравнения будет преобразование выражения, чтобы выделить квадраты функции cos(x). Давайте рассмотрим каждый шаг по очереди.

1. Приравняем уравнение к нулю: 4cos^2(x) + sin(x) - 1 = 0

2. Заметим, что у нас есть квадрат cos(x), поэтому воспользуемся тригонометрической формулой: cos^2(x) = (1 + cos(2x)) / 2

Подставим это выражение в уравнение: 4((1 + cos(2x)) / 2) + sin(x) - 1 = 0

Упростим: 2(1 + cos(2x)) + sin(x) - 1 = 0

3. Раскроем скобки: 2 + 2cos(2x) + sin(x) - 1 = 0

4. Соберем похожие слагаемые: 2cos(2x) + sin(x) + 1 = 0

Теперь наше уравнение имеет вид 2cos(2x) + sin(x) + 1 = 0.

Решение уравнения

Существуют различные подходы к решению тригонометрических уравнений, и одним из них является метод подстановки. Давайте продолжим с этим методом.

1. Проведем подстановку: Пусть u = sin(x), тогда получим: 2cos(2x) + u + 1 = 0

2. Теперь выразим cos(2x) через u: Используем тригонометрическую формулу cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x): cos(2x) = (1 - u^2)

3. Заменим cos(2x) в уравнении: 2(1 - u^2) + u + 1 = 0

4. Раскроем скобки и упростим: 2 - 2u^2 + u + 1 = 0 -2u^2 + u + 3 = 0

5. Теперь решим полученное квадратное уравнение. Мы можем воспользоваться формулой дискриминанта: Дискриминант D = b^2 - 4ac

В нашем случае: a = -2, b = 1, c = 3

D = (1)^2 - 4(-2)(3) = 1 + 24 = 25

Дискриминант положительный, поэтому у нас есть два корня.

6. Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения: u = (-b ± √D) / (2a)

Подставляем значения: u = (-1 ± √25) / (-4)

Разбиваем на два случая: a) u = (-1 + √25) / (-4) = (-1 + 5) / (-4) = 4 / -4 = -1 b) u = (-1 - √25) / (-4) = (-1 - 5) / (-4) = -6 / -4 = 3/2

7. Теперь найдем значения sin(x) для каждого значения u: a) sin(x) = -1 b) sin(x) = 3/2

8. Найдем значения x, используя обратные тригонометрические функции: a) x = arcsin(-1) b) x = arcsin(3/2)

Обратите внимание, что синус может принимать значения только в диапазоне от -1 до 1. Таким образом, значение sin(x) = 3/2 недопустимо.

Резюме

Решение уравнения 4cos^2(x) + sin(x) - 1 = 0 приводит к следующему результату: - sin(x) = -1 - x = arcsin(-1)

Значение sin(x) = -1 соответствует углу -π/2 или 3π/2. Таким образом, решение уравнения будет: - x = -π/2 + 2πn, где n - целое число - x = 3π/2 + 2πn, где n - целое число

Пожалуйста, обратите внимание, что в решении используется угловая мера радиан.