Question

Найдите сумму пяти первых членов геометричной прогрессии если: b3=12; b6=324

Answer 1

Q^3=b3/b6
q^3=324/12
q^3=27
q=3
b1=12/3/3
b1=4/3
S5=(4/3*8)/2
S5=16/3 (5 целых 1 третья)

Answer 2

Для нахождения суммы первых пяти членов геометрической прогрессии (ГП) нам необходимо знать формулу общего члена ГП и использовать информацию о членах b3 и b6.

Общий член геометрической прогрессии выражается формулой:

\[b_n = b_1 \cdot r^{(n-1)}\]

где: - \(b_n\) - n-й член прогрессии, - \(b_1\) - первый член прогрессии, - \(r\) - знаменатель прогрессии, - \(n\) - номер члена прогрессии.

В данном случае у нас есть информация о \(b_3\) и \(b_6\):

\[b_3 = 12\]

\[b_6 = 324\]

Используем эти данные, чтобы найти первый член (\(b_1\)) и знаменатель (\(r\)):

1. Используем формулу для \(b_3\):

\[b_3 = b_1 \cdot r^{(3-1)}\]

\[12 = b_1 \cdot r^2\]

2. Используем формулу для \(b_6\):

\[b_6 = b_1 \cdot r^{(6-1)}\]

\[324 = b_1 \cdot r^5\]

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными (\(b_1\) и \(r\)). Решим эту систему.

Сначала поделим второе уравнение на первое, чтобы убрать \(b_1\):

\[\frac{324}{12} = \frac{b_1 \cdot r^5}{b_1 \cdot r^2}\]

\[27 = r^3\]

Теперь найдем значение \(r\), возведя обе стороны в куб:

\[r = \sqrt[3]{27} = 3\]

Теперь подставим значение \(r\) обратно в одно из уравнений. Для примера, используем первое уравнение:

\[12 = b_1 \cdot 3^2\]

\[12 = 9b_1\]

\[b_1 = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}\]

Теперь у нас есть значения \(b_1\) и \(r\). Мы можем использовать их, чтобы найти сумму первых пяти членов геометрической прогрессии.

Сумма первых \(n\) членов геометрической прогрессии выражается формулой:

\[S_n = \frac{b_1 \cdot (r^n - 1)}{r - 1}\]

В данном случае \(n = 5\), \(b_1 = \frac{4}{3}\), и \(r = 3\). Подставим эти значения:

\[S_5 = \frac{\frac{4}{3} \cdot (3^5 - 1)}{3 - 1}\]

Вычислим это выражение:

\[S_5 = \frac{\frac{4}{3} \cdot (243 - 1)}{2}\]

\[S_5 = \frac{\frac{4}{3} \cdot 242}{2}\]

\[S_5 = \frac{968}{3}\]

Таким образом, сумма первых пяти членов геометрической прогрессии равна \(\frac{968}{3}\).