Question

Сумма корней или корень если он единственный уравнения 4^(х-1)-5*2^(х-1)+4=0 принадлежит к промежутку

Answer 1

4^x/4 - 5/2*2^x + 4 = 0 
Пусть 2^x = t, тогда получим 
t^2/4 - 5/2t + 4 = 0  /*4
Решим квадратное уравнение 
t^2 - 10t + 16 = 0 
D = 36
t₁ = (10 + 6)/2 = 8
t₂ = (10 - 6)/2 = 2

2^x = 8
x = 3

2^x = 2
x = 1 

Ответ
4

Answer 2

Давайте решим уравнение \(4^{x-1} - 5 \cdot 2^{x-1} + 4 = 0\) и определим, принадлежит ли сумма корней или корень (если он единственный) уравнения к определенному промежутку.

Представим уравнение в виде \(4^{x-1} - 5 \cdot 2^{x-1} + 4 = 0\).

Заметим, что можно представить \(4\) и \(2\) в одинаковой степени:

\[ \begin{align*} 4^{x-1} - 5 \cdot 2^{x-1} + 4 &= (2^2)^{x-1} - 5 \cdot 2^{x-1} + 4 \\ &= 2^{2(x-1)} - 5 \cdot 2^{x-1} + 4 \\ &= 2^{2x-2} - 5 \cdot 2^{x-1} + 4. \end{align*} \]

Теперь мы видим, что все слагаемые содержат степень \(2\), поэтому давайте введем замену переменной, чтобы упростить уравнение. Пусть \(y = 2^{x-1}\), тогда \(2^{2x-2} = y^2\), и уравнение принимает вид:

\[y^2 - 5y + 4 = 0.\]

Теперь давайте решим это квадратное уравнение. Мы можем факторизовать его или использовать квадратное уравнение:

\[ \begin{align*} y^2 - 5y + 4 &= (y-4)(y-1). \end{align*} \]

Таким образом, у нас есть два корня: \(y = 4\) и \(y = 1\).

Теперь вспомним, что \(y = 2^{x-1}\). Таким образом, у нас есть два уравнения:

\[2^{x-1} = 4 \quad \text{и} \quad 2^{x-1} = 1.\]

1. Для первого уравнения: \(2^{x-1} = 4\). Решение этого уравнения - \(x = 3\).

2. Для второго уравнения: \(2^{x-1} = 1\). Решение этого уравнения - \(x = 0\).

Таким образом, у нас есть два корня: \(x = 3\) и \(x = 0\).

Теперь, когда у нас есть корни, давайте определим, принадлежат ли они определенному промежутку. Нам нужно рассмотреть промежуток и проверить, принадлежат ли корни этому промежутку.

Чтобы это сделать, давайте рассмотрим интервалы между корнями и выберем тестовую точку в каждом интервале:

1. Если выберем точку \(x = 1\) (между \(x = 0\) и \(x = 3\)), подставим ее в исходное уравнение:

\[4^{1-1} - 5 \cdot 2^{1-1} + 4 = 1 - 5 + 4 = 0.\]

Таким образом, \(x = 1\) является корнем.

2. Теперь, выбрав точку \(x = 2\) (после \(x = 1\)), подставим ее в уравнение:

\[4^{2-1} - 5 \cdot 2^{2-1} + 4 = 4 - 10 + 4 = -2.\]

Таким образом, \(x = 2\) не является корнем.

3. Выберем точку \(x = -1\) (перед \(x = 0\)):

\[4^{-1} - 5 \cdot 2^{-1} + 4 = \frac{1}{4} - \frac{5}{2} + 4 = \frac{1}{4} - \frac{10}{4} + \frac{16}{4} = \frac{1 - 10 + 16}{4} = \frac{7}{4}.\]

Таким образом, \(x = -1\) не является корнем.

Таким образом, единственный корень, принадлежащий промежутку, - это \(x = 1\).