Question

Упростите выражение: (х/у+у/х+2)*1/(х+у)² и найти значение при х=корень из 2/3 и у= корень 3/8Подробнее, пожалуйста :)

Answer 1

1. Сначала давай разберемся со скобочкой - это будет нашим первым действием.
Приводим к общему знаменателю - все слагаемые умножаем на xy:
(x^2+y^2+2xy)/xy
x^2+2xy+y^2  - упрощаем это по формуле сокращенного умножения и получаем следующее выражение:
(x+y)^2/xy
2. Теперь выполним второе действие:
(x+y)^2/xy*1/(x+y)^2
Сокращаем на (x+y)^2  и получаем:
1/xy
3. теперь подставляем значения x и y:
1/корень из 2/3 * корень из 3/8
все, что в знаменателе мы вносим под общий корень:
1/корень из (2/3*3/8) - сокращаем знаменатель и получаем: 
1/корень из 1/4
1/1/2 или 2
Ответ:2

Answer 2

Давайте рассмотрим выражение и упростим его:

\[ \frac{x}{y} + \frac{y}{x} + 2 \cdot \frac{1}{(x+y)^2} \]

Для начала, обратим внимание, что у нас есть сложная дробь вида \(\frac{1}{(x+y)^2}\). Давайте приведем ее к более удобному виду. Умножим числитель и знаменатель на \((x+y)^2\):

\[ \frac{x}{y} + \frac{y}{x} + \frac{2}{(x+y)^2} \cdot \frac{(x+y)^2}{1} \]

Сократим \((x+y)^2\) в числителе и знаменателе:

\[ \frac{x}{y} + \frac{y}{x} + 2 \]

Теперь мы имеем упрощенное выражение. Теперь подставим значения \(x\) и \(y\):

Пусть \( x = \sqrt{\frac{2}{3}} \) и \( y = \sqrt{\frac{3}{8}} \).

\[ \frac{\sqrt{\frac{2}{3}}}{\sqrt{\frac{3}{8}}} + \frac{\sqrt{\frac{3}{8}}}{\sqrt{\frac{2}{3}}} + 2 \]

Чтобы избавиться от знаменателей в дробях, умножим числитель и знаменатель первой дроби на \(\sqrt{\frac{3}{8}}\), а второй - на \(\sqrt{\frac{2}{3}}\):

\[ \frac{\sqrt{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt{\frac{3}{8}}}{\sqrt{\frac{3}{8}} \cdot \sqrt{\frac{3}{8}}} + \frac{\sqrt{\frac{3}{8}} \cdot \sqrt{\frac{2}{3}}}{\sqrt{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt{\frac{2}{3}}} + 2 \]

Это упрощается до:

\[ \frac{\sqrt{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{8}}}{\frac{3}{8}} + \frac{\sqrt{\frac{3}{8} \cdot \frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}} + 2 \]

\[ \frac{\sqrt{\frac{1}{4}}}{\frac{3}{8}} + \frac{\sqrt{\frac{1}{4}}}{\frac{2}{3}} + 2 \]

\[ \frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{8}} + \frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{3}} + 2 \]

Теперь найдем общий знаменатель для дробей:

\[ \frac{\frac{1}{2} \cdot 8}{3} + \frac{\frac{1}{2} \cdot 6}{2} + 2 \]

\[ \frac{4}{3} + \frac{3}{2} + 2 \]

Теперь сложим дроби и прибавим 2:

\[ \frac{8}{6} + \frac{9}{6} + 2 \]

\[ \frac{17}{6} + 2 \]

\[ \frac{17}{6} + \frac{12}{6} \]

\[ \frac{29}{6} \]

Таким образом, упрощенное выражение при подстановке значений \(x\) и \(y\) равно \(\frac{29}{6}\).