Question

Разложите на множители (a+b)(a+b+2)+(a-b)(a-b+2)+2(a+b+1)(a-b+1)-2

Answer 1

A²+ab+2a+ab+b²+2b+a²-ab+2a-ab+b²-2b+2a²-2ab+2a+2ab-2b²+2b+2a-2b+2-2=4a²+8a=4a(a+2)

Answer 2

Давайте разложим данное выражение на множители.

Имеем: \[ \begin{align*} &(a+b)(a+b+2) + (a-b)(a-b+2) + 2(a+b+1)(a-b+1) - 2 \\ =& (a+b)(a+b) + (a+b) \cdot 2 + (a+b) \cdot 2 + (a+b+2)(a+b+2) \\ &+ (a-b)(a-b) + (a-b) \cdot 2 + (a-b) \cdot 2 + (a-b+2)(a-b+2) + 2(a+b+1)(a-b+1) - 2 \\ =& a^2 + 2ab + b^2 + 2a + 2b + 4 + a^2 - 2ab + b^2 + a^2 - 2ab + b^2 + 2a + 2b + 4 \\ &+ a^2 - 2ab + b^2 + 2a - 2b + 4 + 2(a+b+1)(a-b+1) - 2 \\ =& 4a^2 + 8b^2 + 8 + 8a + 8b + 2(a+b+1)(a-b+1) - 2. \end{align*} \]

Теперь рассмотрим часть \(2(a+b+1)(a-b+1)\): \[ \begin{align*} 2(a+b+1)(a-b+1) &= 2 \cdot (a+b+1) \cdot (a-b+1) \\ &= 2 \cdot [(a+b)(a-b+1) + (a-b+1)] \\ &= 2 \cdot [(a^2 - ab + ab - b^2 + a - b + 1] \\ &= 2 \cdot (a^2 - b^2 + a - b + 1) \\ &= 2a^2 - 2b^2 + 2a - 2b + 2. \end{align*} \]

Теперь подставим это обратно в исходное выражение: \[ \begin{align*} &4a^2 + 8b^2 + 8 + 8a + 8b + 2(a+b+1)(a-b+1) - 2 \\ =& 4a^2 + 8b^2 + 8 + 8a + 8b + (2a^2 - 2b^2 + 2a - 2b + 2) - 2 \\ =& 6a^2 + 6b^2 + 10a + 10b + 8. \end{align*} \]

Таким образом, разложенное выражение на множители: \(6(a^2 + b^2) + 10(a+b) + 8\).