Question

Укажите промежуток, на котором функция 5x^2-4x-7 только убывает

Answer 1

F '(x)=5*2x-4*1=10x-4
Найдем критические точки
f '(x)=0
10x-4=0
10x=4
x=0.4 - критическая точка так как D(f ')=R
Рисуем ось х,отмечаем точку 0,4, она делит ось на два промежутка (-бескон;0,4) и (0,4; + бескон)
F'(0)=10*0-4=-4 <0
f '(1)=10*1-4=6>0
Т.к на промежутке  (-бескон;0,4) f ' (x)<0  то данная функция убывает на промежутке  (-бескон;0,4)

Answer 2

Функция \(f(x) = 5x^2 - 4x - 7\) будет убывать на том промежутке, где её производная будет отрицательной. Для этого, мы можем вычислить производную функции \(f'(x)\) и найти интервалы, на которых она отрицательна.

Вычисление производной

Для вычисления производной функции \(f(x)\), мы применим правило дифференцирования для каждого члена функции:

\[ f'(x) = \frac{{d}}{{dx}} (5x^2) - \frac{{d}}{{dx}} (4x) - \frac{{d}}{{dx}} (7) \]

Производная константы равна 0, поэтому третий член исчезает:

\[ f'(x) = 10x - 4 \]

Определение интервалов убывания

Теперь, чтобы найти интервалы, на которых функция \(f(x)\) убывает, мы должны решить неравенство \(f'(x) < 0\).

\[ 10x - 4 < 0 \]

Добавим 4 к обеим сторонам неравенства:

\[ 10x < 4 \]

Теперь разделим обе стороны на 10:

\[ x < \frac{4}{10} \]

Упростим дробь:

\[ x < \frac{2}{5} \]

Итоговый ответ

Таким образом, функция \(f(x) = 5x^2 - 4x - 7\) убывает на интервале \((-\infty, \frac{2}{5})\). Это означает, что при значениях \(x\) в этом интервале, значение функции будет уменьшаться.